Mate

INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA
CONOCIMIENTOS PREVIOS.
Una recta es secante a una curva cuando la corta en dos puntos distintos. Es tangente a la curva cuando la toca en un sólo punto.
La pendiente de la recta secante a la curva de la figura es el cociente


La pendiente de la recta tangente a la curva de la figura en un punto es el cociente :


TASA DE VARIACIÓN MEDIA
El movimiento deuna bola lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con altura y es una función del tiempo y=f(t)=50•t - 5•t2
Conviene que te des cuenta que la trayectoria seguida por la bola es una recta vertical mientras que la función altura-tiempo es una parábola y que no debes confundir la gráfica de la función con la trayectoria. En la gráfica altura-tiempo podemos calcular la altura si conocemosel tiempo. Pero también podemos encontrar otro tipo de información, como por ejemplo la rapidez del cambio de altura con el tiempo.
Si aumentamos de forma continua el tiempo t verás como la bola se eleva hasta alcanzar una altura máxima, después desciende hasta llegar al suelo.
Para estudiar el movimiento consideramos el instante inicial t0 y el instante final t.
En el tiempo trascurrido t - t0segundos la altura ha variado f(t)-f(t0).

El cociente representa el cambio experimentado por la altura en un segundo, es decir mide la rapidez del cambio de altura y se denomina TASA DE VARIACIÓN MEDIA en el intervalo [t0,t].
La TVM mide la variación de la función relativa a un intervalo pero no nos informa de cómo fue variando a lo largo del intervalo
Experimenta:
Averigua la alturamáxima alcanzada.
Averigua el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
Averigua el tiempo que tarda en caer al suelo.
¿La tasa de variación media TVM es la misma en cualquier intervalo de tiempo?. Explica como va cambiando.
Calcula la TVM en los siguientes intervalos [t0=0, t=1]; [t0=1, t=2]; [t0=2, t=4]; [t0=5, t=7]
¿Qué significa una TVM negativa?
Si calculamos la TVM en unintervalo muy pequeño p.e [t0=2, t=2,12] ¿que tal representaría la TVM a la velocidad que lleva la bola en el instante t0=2 segundos?
Si la TVM es nula ¿quiere decir que la función no ha variado a lo largo del intervalo?. Explica esto.
Busca dos instantes de tiempo t0 y t donde la bola esté a 80 metros del suelo. ¿Cuál es la TVM en este intervalo?
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

La TVMrepresenta la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B como se puede apreciar en el triángulo rectángulo de la figura.

Como la función y=f(t) no es lineal resulta que la recta que pasa los puntos A y B tiene distinta pendiente dependiendo del intervalo [t0,t] que se esté considerando.
3. EJEMPLOS
Cuando se estudia la estatura de una persona se observa que su talla cambia mucho entrelos 6 y los 9 años, mientras que entre los 20 y 23 cambia muy poco. La TVM de la talla de una persona es mayor en el primer caso que en el segundo, pues en el mismo tiempo ha aumentado más su estatura.
Cuando se estudia la variación de temperatura de un líquido a lo largo del tiempo, la TVM es la velocidad de enfriamiento o calentamiento del líquido.
Cuando se estudia la variación del númerode nacimientos que se producen en un país a lo largo del tiempo, la TVM es la tasa de natalidad de la población.
El consumo de electricidad en una población no es el mismo en todas las horas del día. Si la TVM en una franja horaria es alta indica la necesidad de reforzar la capacidad de suministro eléctrico durante ese tiempo.
Cuando se estudia la variación de las ordenadas de los puntos de unacurva y = f(x) en un cierto intervalo [a, b] de la variable independiente x, la TVM es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a,f (a)) y (b,f(b)), y mide la variación media de la función en dicho intervalo.







Continuamos con el ejemplo anterior : una bola es lanzada desde el suelo verticalmente y hacia arriba. La función altura-tiempo es y=f(t)=50t - 5t2
Recordemos...