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´ ´ PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS Solucionario de la Primera Pr´ctica de C´lculo 2 a a 2010 - I

1. Sea y = f (x) una funci´n continua en [−1, 4] tal que f(0) = 1 y la gr´fica de su funci´n o a o derivada y = f (x), est´ dada en la figura adjunta. Halle la regla de correspondencia a de f y bosqueje su gr´fica indicando las coordenadas de sus valores extremosy de sus a puntos de inflexi´n. o (4.0 ptos.)

Soluci´n o   x2 + 1 −1 ≤ x < 0  −x2 f (x) = + 2x + 1 0 ≤ x < 3 .  2  −2x + 17 3≤x≤4 2

2. Pruebe que: Las funciones f (x) = arc sen

√ x−1 yg(x) = 2 arctan x , para x ≥ 0, x+1 se diferencian en una constante; es decir, f (x) − g(x) = C, donde C es una constante en R. (2.0 ptos.) Soluci´n o f (x) = 1− f (x) = 1
4x (x+1)2

1
x−1 2 x+1d x−1 dx x + 1

(x + 1) − (x − 1) 1 √ . = (x + 1)2 (x + 1) x

1 1 1 √ = √ . (1 + x) 2 x (x + 1) x Como f (x) = g (x), entonces f (x) − g(x) = C, donde C es una constante en R. g (x) = 2 3. Sea I= f (x) dx, donde f es continua en [0, k] y f (x) + f (k − x) = 0 en f (x) + f (k − x) 0 el intervalo [0, k]. (Leithold, 7ma Ed. Sec 4.7 ej. 54) a) Pruebe que I = Soluci´n o Sea t = k − x, entonces I= − f (k − t) dt. f (k − t) + f (t) k k k f (k − t) + f (k) − f (k) f (k) I= dt = 1− dt. f (k − t) + f (t) f (k − t) + f (t) 0 0 I = k − I, luego I = k . 2
π 2

k

k . 2
0

(2.0 ptos.)

b)Usando el resultado de a), calcule I =
0

sen x dx. sen x + cos x

(1.0 ptos.)

Soluci´n o sen x dx. π 0 sen x + sen( 2 − x) π/2 π I= = . 2 4 I= 4. Exprese l´ ım obtenida. Soluci´n o I = l´ ımI = l´ ım
1 n→+∞
π 2

n→+∞

1k + 2k + ... + nk , k > 0; como una integral definida y calcule la integral nk+1 (3.0 ptos.) 1 n
k

1k + 2k + ... + nk = l´ ım n→+∞ nk+1
n

+

2 n

k

+3 n

k

+ ... +

n n

k

1 . n

n→+∞

i=1

i n

k

1 . n

I=
0

xk dx. xk+1 k+1
1 0

I=

=

1 . k+1

5.

a) Halle el valor promedio de f (x) = Soluci´n o

√...