Mate
Páginas: 7 (1670 palabras)
Publicado: 11 de noviembre de 2012
Pregunta 1[1]
En el transcurso de una epidemia, la proporción de población infectada después de un tiempo “t” es igual a
[pic]
(t está medido en meses, y la epidemia empieza en t=0). Encuentre la máxima proporción que llega a infectarse, así como el tiempo en el cual la proporción de individuos infectados crece más rápidamente,
Resolución
Sea [pic]: proporción de poblacióninfectada después de un tiempo “t”
t: meses
Donde: [pic]
Parte a.
Nos piden la máxima proporción que llega a infectarse
Función objetivo: [pic]
Primera derivada
[pic]
[pic]
[pic]
Planteamos: [pic]
[pic]
[pic]
Resolviendo: [pic]; [pic]
Segunda derivada
Tenemos: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]Con t=0: [pic]
Con t=1: [pic]
Dado que en t=1, la primera derivada es cero y la segunda derivada es negativa decimos que cuando t=1 la proporción de infectados es máxima.
Parte b.
La rapidez de crecimiento de la proporción de individuos infectados está dado por la función:
[pic]
[pic]
Para calcular llega el tiempo en el cual la proporción deindividuos infectados crece más rápidamente, planteamos:
[pic]
Es decir: [pic]
[pic]
Resolviendo[2]: [pic]
[pic]
La segunda derivada de la función rapidez de crecimiento:
Tenemos: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Con t=0.362: [pic]
Con t=1.592: [pic]
Dado que en t=0.362, la primera derivadaes cero y la segunda derivada es negativa decimos que cuando t=0.362 (meses) la proporción de individuos infectados crece más rápidamente.
A continuación se muestra la grafica de la función [pic] donde se puede notar que alcanza su máximo valor para t=0.362 (aproximadamente entre el día 10 y 11) del primer mes.
[pic]
Pregunta 2[3]
El tamaño de cierta población de bacterias en eltiempo t (en horas) está dado por [pic], donde a es una constante. Un biólogo planea observar a la población durante un periodo de dos horas desde t=0 a t=2. ¿Cuáles serán la mayor y menor razón de crecimiento que observará?
Resolución
Tenemos: [pic]
Donde “y” representa la población de bacterias en el tiempo “t”
Nos piden: La mayor y menor razón de crecimiento observada
Se trata de unproblema de optimización donde la función objetivo es la razón de crecimiento de la población de bacterias.
Sea R(t): Razón de crecimiento de la población de bacterias.
[pic]
[pic]
[pic] Función objetivo
Primera derivada
[pic]
[pic]
[pic]
Planteamos: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Analizamos los signos de la primeraderivada (a>0)
|Signo [pic] |( - ) |( + ) |
|t |0 |ln2 |2 |
De acuerdo al cuadro anterior:
- La razón de crecimiento de la población de bacterias decrece entre t=0 y t=ln2.
- La razón de crecimiento de la población debacterias crece entre t=ln2 y t=2.
- La razón de crecimiento de la población de bacterias alcanza su mínimo valor cuando t=ln2.
Determinaremos los valores absolutos en el intervalo dado: [ 0, 2 ]
|[pic] |[pic] |
|0 |[pic] |
|ln2 |[pic] |
|2 |[pic] |
Luego:
- La mayor razón de crecimiento que observará el biólogoserá de -0.17a.
- La menor razón de crecimiento que observará el biólogo será de -0.25a.
Pregunta 3[4]
Estudiosos del tema han desarrollado modelos para medir el rendimiento de un individuo con respecto al tiempo empleado para aprender la tarea. Uno de tales modelos está dado por la función:
[pic],
en donde: [pic] es una medida del rendimiento del individuo
[pic] es el...
En el transcurso de una epidemia, la proporción de población infectada después de un tiempo “t” es igual a
[pic]
(t está medido en meses, y la epidemia empieza en t=0). Encuentre la máxima proporción que llega a infectarse, así como el tiempo en el cual la proporción de individuos infectados crece más rápidamente,
Resolución
Sea [pic]: proporción de poblacióninfectada después de un tiempo “t”
t: meses
Donde: [pic]
Parte a.
Nos piden la máxima proporción que llega a infectarse
Función objetivo: [pic]
Primera derivada
[pic]
[pic]
[pic]
Planteamos: [pic]
[pic]
[pic]
Resolviendo: [pic]; [pic]
Segunda derivada
Tenemos: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]Con t=0: [pic]
Con t=1: [pic]
Dado que en t=1, la primera derivada es cero y la segunda derivada es negativa decimos que cuando t=1 la proporción de infectados es máxima.
Parte b.
La rapidez de crecimiento de la proporción de individuos infectados está dado por la función:
[pic]
[pic]
Para calcular llega el tiempo en el cual la proporción deindividuos infectados crece más rápidamente, planteamos:
[pic]
Es decir: [pic]
[pic]
Resolviendo[2]: [pic]
[pic]
La segunda derivada de la función rapidez de crecimiento:
Tenemos: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Con t=0.362: [pic]
Con t=1.592: [pic]
Dado que en t=0.362, la primera derivadaes cero y la segunda derivada es negativa decimos que cuando t=0.362 (meses) la proporción de individuos infectados crece más rápidamente.
A continuación se muestra la grafica de la función [pic] donde se puede notar que alcanza su máximo valor para t=0.362 (aproximadamente entre el día 10 y 11) del primer mes.
[pic]
Pregunta 2[3]
El tamaño de cierta población de bacterias en eltiempo t (en horas) está dado por [pic], donde a es una constante. Un biólogo planea observar a la población durante un periodo de dos horas desde t=0 a t=2. ¿Cuáles serán la mayor y menor razón de crecimiento que observará?
Resolución
Tenemos: [pic]
Donde “y” representa la población de bacterias en el tiempo “t”
Nos piden: La mayor y menor razón de crecimiento observada
Se trata de unproblema de optimización donde la función objetivo es la razón de crecimiento de la población de bacterias.
Sea R(t): Razón de crecimiento de la población de bacterias.
[pic]
[pic]
[pic] Función objetivo
Primera derivada
[pic]
[pic]
[pic]
Planteamos: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Analizamos los signos de la primeraderivada (a>0)
|Signo [pic] |( - ) |( + ) |
|t |0 |ln2 |2 |
De acuerdo al cuadro anterior:
- La razón de crecimiento de la población de bacterias decrece entre t=0 y t=ln2.
- La razón de crecimiento de la población debacterias crece entre t=ln2 y t=2.
- La razón de crecimiento de la población de bacterias alcanza su mínimo valor cuando t=ln2.
Determinaremos los valores absolutos en el intervalo dado: [ 0, 2 ]
|[pic] |[pic] |
|0 |[pic] |
|ln2 |[pic] |
|2 |[pic] |
Luego:
- La mayor razón de crecimiento que observará el biólogoserá de -0.17a.
- La menor razón de crecimiento que observará el biólogo será de -0.25a.
Pregunta 3[4]
Estudiosos del tema han desarrollado modelos para medir el rendimiento de un individuo con respecto al tiempo empleado para aprender la tarea. Uno de tales modelos está dado por la función:
[pic],
en donde: [pic] es una medida del rendimiento del individuo
[pic] es el...
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