Mate

Definición de una matriz:
En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base).
También se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular,para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Las matrices pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Matrizcuadrada:
Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo.
M (nR), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M (nC), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es unálgebra asociativa compleja.
La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones MIn= M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k.
MATRIZ DIAGONAL.
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matrizcuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

Ejemplo:

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.
USO:
Las matrices diagonalestienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.
De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmenteindependientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.
En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.
MATRIZ TRIANGULAR.
En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos porencima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertiblecomo producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.
Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:

Análogamente, una matriz de la forma:

se dice que es una matriz triangular inferior.
Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de "upper triangular matrix" y L de "lower triangular matrix", los nombres quereciben estas matrices en inglés
Ejemplos

Esta matriz es triangular superior.

Esta matriz es triangular inferior.
Propiedades de las matrices triangulares
* Una matriz triangular superior e inferior siempre diagonaliza en una base de vectores propios(matriz diagonal).
* El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es un matriz triangular superior (inferior)....