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MATEMÁTICAS I

5 – Continuidad y Bolzano

Continuidad
Una función f es continua en x = a si f (a) = lim f (x)
x →a

Si f no está definida a intervalos, donde existe es continua (es continuaen su dominio)

Si f no es continua en x = a, entonces:
• ∃ lim f (x) ≠ ∞ → Discontinuidad evitable
x →a

• lim+ f (x) ≠ lim− f (x) → Discontinuidad 1ª especie de salto finito
x →a

x →a(si 1 de los 2 es ± ∞ sería salto infinito)
• ∃ lim+ f (x) ó ∃ lim− f (x) → Discontinuidad 2ª especie
x →a

x →a

1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = x 2 + e x
c) f(x) =

b) f (x) = x − 5

x 2 + 5x
x

d) f (x) =

2e x + 3

e) f (x) =  x 3
2x + 1


 x 1− 2
g) f (x) = 2
 0

si x ≥ 0

x +1
x −1

 x2 + x − 6
si x ≠ 2

f) f (x)=  x − 2

5
si x = 2


si -1 < x < 0
si -1 ≥ x

si x ≠ 2
si x = 2

Bolzano

f (a) y f (b) tienen ≠ signo 
 → ∃c ∈ (a, b) / f (c) = 0
f continua en [a,b]

NOTA: f (c) = 0quiere decir que la gráfica de f corta al eje X en x = c
f(a)
c
a

b

f(b)



1

MATEMÁTICAS I

5 – Continuidad y Bolzano

2. Comprobar si se cumple el teorema de Bolzano para la funciónf ( x ) = x 2 − 4 en [0,3].

3. ¿Existe algún número entre 2 y 4 tal que x 3 − 1 + x 2 = 16 ?
4. Demuestra que la ecuación xex = 1 tiene solución.
5. Sea S(p) = p2 + p la función de oferta de unbien y sea D(p) = 10/(p2+2) la función de demanda.
Demuestre la existencia de un precio de equilibrio de mercado.
6. Comprueba que la ecuación x3 − 3x − 1 = 0 tiene una raíz en el intervalo ( −1,0 ).
7. Demuéstrese que la función f (x) = 2x 3 − 5x 2 + x + 2 corta al eje de abscisas en el intervalo

[ −1,3] . ¿Y g(x) = 2x + 1 ?
x−2

8. Estudiar

si

puede

aplicarse

el

teoremade

Bolzano


si x ≤ 2
x
en los intervalos: a)  −1,1
f (x) = 
2
−x
+
8x
−
6
si
x
>
2


b) 3,20 

a

la

función

c)  2,18 

Weierstrass

f...