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Capítulo 2.
Oscilaciones Amortiguadas, Forzadas y Resonancia.
Introducción: Nuestro objetivo en los primeros capítulos es el de comprender el
comportamiento oscilatorio que presentan muchos sistemas simples en la Naturaleza.
Hasta ahora sólo hemos estudiado oscilaciones armónicas unidimensionales en
donde no existe disipación de energía. Este modelo es el más simple de entender, peroresulta insuficiente para describir fenómenos físicos reales más complejos. Una primera
mejora a nuestro modelo consiste en considerar que el sistema puede disipar energía,
por ejemplo vía el rozamiento, y/o ganar (o perder) energía a través de la acción de una
fuerza impulsora.
Como primer paso propondremos un modelo simple de disipación de energía y
bajo estas nuevas condiciones estudiaremos laevolución dinámica del sistema masaresorte.
Luego estudiaremos la respuesta del sistema cuando es sometido a la acción de
una fuerza externa cuya intensidad varía armónicamente (una madre hamacando a su
hijo).
Estos modelos simples nos permiten entender comportamientos físicos, muy
generales, de sistemas oscilantes. Nos detendremos fundamentalmente en el estudio del
fenómeno de resonancia,concepto fundamental, el cual se manifiesta en infinidad de
sistemas físicos tales como instrumentos musicales, en sistemas eléctricos, en
electrónica, en materiales, moléculas, átomos, núcleos atómicos, etc..
Los ejercicios recomendados son el 1, 3, 4, 5 y 7.
1. Ejercicio Teórico: Oscilador armónico amortiguado. Como primer paso hacia una
mejor descripción de los fenómenos oscilatoriosreales observados en la naturaleza,
vamos a complejizar nuestro modelo simple, de la masa oscilante, considerando la
posibilidad de que el sistema disipe energía, a través de la fricción con el aire (no
tomaremos en cuenta otro tipo de rozamiento).
Supondremos que las oscilaciones son lo suficientemente lentas como para que
el aire al fluir sobre la masa pueda ser descripto como un fluido idealfluyendo
laminarmente, sin turbulencias. Dentro de esta aproximación, existen modelos
hidrodinámicos adecuados que describen la fuerza amortiguadora actuante sobre la
masa, debido al rozamiento con el aire. El más simple de ellos es el que obtenemos a
partir de la ley de Stokes, el cual afirma que la fuerza amortiguadora Fa resulta
proporcional a la velocidad del cuerpo, pero en sentidoopuesto ya que se opone a su
movimiento, es decir,
r
r
Fa = −b v ,
(1)
en donde b es una constante que determina el grado de amortiguación, depende de la
viscosidad del medio y de las dimensiones de la masa. Este modelo de rozamiento se
ajusta bastante bien (para velocidades bajas) a lo que se observa experimentalmente en
fluidos.
A mayor velocidad mayor resulta la fuerza amortiguadora (designo opuesto).
Notar que el signo negativo indica claramente que la fuerza tiene permanentemente un

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sentido opuesto al sentido del movimiento, por lo cual concluimos que el trabajo hecho
por esta fuerza resulta siempre negativo, o sea, disipa continuamente energía.
Veamos sobre el ejemplo las consecuencias de considerar esta forma de
disipación de energía:
Ejemplo: Una partículade masa m = 1kg oscila unidimensionalmente unida a un
resorte horizontal de constante elástica k = 400 N / m , y longitud relajada l 0 = 30cm ,
ver figura 1.
Fig.1
x

Considerando que el sistema disipa energía sólo debido al rozamiento con el
aire, y que la fuerza amortiguadora puede modelarse a través de la expresión 1 (ley de
Stokes), halle la ley dinámica del sistema (unidimensional),es decir, halle la ecuación
diferencial que describe el desplazamiento de la masa (segunda ley de Newton).
Respuesta:
&& ( t ) = − k Ψ ( t ) − b Ψ& ( t )
m Ψ
(2)
1
1
1
donde Ψ1 (t ) es el desplazamiento a partir del equilibrio en función del tiempo, es
decir Ψ1 ( t ) = x ( t ) − xequi donde x equi = l 0 (le hemos puesto el subíndice 1 para
diferenciar de soluciones que obtendremos...