Mate

Lógica matemática
La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquieractividad en la vida.

3.1.- lógica proposicional

La lógica Proposicional pretende estudiar las frases declarativas simples (enunciados o proposiciones) que son los elementos básicos de transmisión de conocimiento humano.
De manera informal, una proposición se define como una frase que puede ser considerada Verdadera o Falsa y que no se puede descomponer en otras frases Verdaderas o Falsas. Pararelacionar las distintas proposiciones se utilizan las siguientes conectivas:


Nombre de la conectiva Representación Ejemplos de frases en las que aparece

Negación p no p
es falso p
no es cierto p

Conjunción p q p y q
p pero q
p sin embargo q
p no obstante q
p a pesar de q

Disyunción p q o p o q o ambos
al menos p o q
como mínimo p o qCondicional
(implicación) pq
si p entonces q
p sólo si q
q si p
q cuando p
q es necesario para p
para p es necesario q
p es suficiente para q
para q es suficiente p
no p a menos que q

Bicondicional
(Equivalencia) pq
p es necesario y suficiente para q
p si y sólo si q



3.1.1.- Conceptos de proposición

Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurarque es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.
La teoría semántica de la lógica proposicional trata de atribuir significados (Verdadero o Falso) a las distintas fórmulas del lenguaje. Dichos significados dependen del contexto particular en el que se utilice la fórmula. Cada contexto se denomina Interpretación.

Definición 1: Una interpretación de una fórmula F en lógicaproposicional es una asignación de valores {V, F} a cada una de las letras proposicionales de F. El valor de una proposición p bajo una interpretación I se denota como VI (p).

Definición 2: Dada una fórmula F y una interpretación I, el valor de F bajo I (denotado por VI (F)) es:

° Si F está formada por una proposición p, entonces VI (F) =VI (p)

° Si F es de la forma G entonces V (F)=• V si V (G)= F
• F si V (G)= V

° Si F es de la forma GH entonces V (F)=
• V si V (G)= V (H)= V
• F en caso contrario

° Si F es de la forma G H entonces V (F)=
• F si V(G)=V(H)=F
• V en caso contrario

° Si F es de la forma G H entonces V (F)=
• F si V(G)=V y V(H)=F
• V en caso contrario

° Si F es de la forma G H entonces V (F)=
• V si V(G)=V (H)
• F en casocontrario

Definición 3: Una interpretación I es un modelo para una fórmula F
si VI (F) = V.
Es posible establecer una clasificación de las fórmulas proposicionales en función de los valores que tomen bajo las diferentes interpretaciones, de esta forma una fórmula F se clasifica en:

Válida ó Tautología: Todas las interpretaciones son un modelo (Para toda interpretación I, VI (F) = V)Satisfacible: Alguna interpretación es un modelo (Existe una interpretación I tal que VI (F) = V)

Insatisfacible: Ninguna interpretación es un modelo (No existe una interpretación I tal que VI (F) = V)

3.1.2.- Proposiciones compuestas (disyunción, conjunción, negación, condicional, incondicional).


Existen conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir,formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores básicos son:

• Conjunción (operador and)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Se le conoce como multiplicación lógica y su símbolo es Ù (and).

Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena película y cuando tengo dinero"
Sean:...