MATE

“CONTINUIDAD”


Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no escontinua, se dice que es discontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo). Lacontinuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que larepresenta, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni “saltos”.
Una función es continuapor la izquierda en el punto si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua por la derecha en el punto si su límite lateralpor la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Continuidaden un intervalo cerrado [a,b]
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo xperteneciente al intervalo abierto (a,b)

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
Laparábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real. Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x=a. De modo que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas. Es importante notar que lo recíproco...