Mate

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/). Vol. 9, No 2. (Feb., 2009)

Algebra Lineal con Mathematica. Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Carlos Arce S.
carce@cariari.ucr.ac.cr Escuela de Matemática Universidad de Costa Rica

Contenido

1.1

Representación gráfica de sistemas en 2 variables. 1.1.1 Sistemas con más de 2 ecuaciones.

3 6 7 8 8 10 12 13 1417 17 22 22

1.2

Búsqueda de soluciones: método de Gauss-Jordan. 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 Estrategia del procedimiento de solución Sistemas con solución inmediata. Matrices en la forma escalonada y escalonada reducida. Operaciones elementales Método de Gauss-Jordan: el ejemplo.

1.3 1.4

Teorema fundamental Teorema de equivalencias Ejercicios

1.5 1.6

Ejercicios propuestosRecursos

Ejercicios

22

Sistemas de Ecuaciones Lineales

1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS EN 2 VARIABLES. El conjunto de puntos x, y que satisfacen una ecuación lineal en dos variables: ax + by = c pueden ser descritos en forma paramétrica, al despejar una de las variables en términos de la otra. Por ejemplo, si se despeja la variable y de la ecuación 2x − 4y = −3 , se tiene que y =(2x + 3)/4 , además si se conviene en asignar a la variable x un valor a arbitrariamente elegido —lo que llamaremos parámetro— entonces todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación se describen por: x y = t = (2t + 3)/4 con t ∈ R

O equivalente como { (t, (2t + 3)/4) | t ∈ R }.

Algebra Lineal con Mathematica.. Carlos Arce S. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educacióne Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

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REVISTA DIGITAL MATEMÁTICA, EDUCACIÓN E INTERNET (www.itcr.ac.cr/revistamate/) VOL 9, N1, 2008.

Naturalmente, la parametrización de los puntos que satisfacen la ecuación no es única, por ejemplo, si se despeja la variable x de esta misma la ecuación se obtiene: x y = (2t + 3)/4 = t con t ∈ R

O incluso, si en la primera parametrización se eligeque x = 2s , con x ∈ R , entonces 3 con s ∈ R 4 es otra posible parametrización. y = s+ x = 2s

EJEMPLO 1.1

Obtenga una parametrización para cada ecuación del sistema: 2x − 4y = −3 2x + y = 6 y utilice ParametricPlot para dar una representación gráfica del conjunto solución de cada ecuación. Resuelva el sistema. In[ ]:= ParametricPlot[{{t, (2t + 3)/4}, {t, 6 - 2t}}, {t, -1, 5}];
8 6 4

In[]:= Solve[{2x - 4y == -3, 2x + y == 6}, {x, y}] Out[ ] = 21 9 x → ,y → 10 5 Observe que en el gráfico anterior, se emplean distintas escalas en el eje X y eje Y . Usted puede obligar a Mathematica a utilizar la misma escala agregando la siguiente "opción". In[ ]:= ParametricPlot[{{t, (2t + 3)/4}, {t, 6 - 2t}}, {t, -1, 5}, AspectRatio → Automatic]; }
8 6

5

4

3

2 5 4

1 3 2 1 2 4 2 24 4

2 1 1 -

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS EN 2 VARIABLES.

5

Y limitar el rango del eje Y en la siguiente forma: In[ ]:= ParametricPlot[{{t, (2t + 3)/4}, {t, 6 - 2t}},{t, -1, 5}, AspectRatio → Automatic], } PlotRange -> {-1, 4}];
3 4

EJEMPLO 1.2

Dé una representación gráfica para el siguiente sistema de ecuaciones lineales. 2x −x − 4y + 2y = −6 = 6

In[ ]:=ParametricPlot[{{t, (2t + 6)/4}, {t, (6 + t)/2 } }, {t, -1, 5}, AspectRatio → Automatic, PlotRange → {0, 5}];
5 4

Del gráfico se observa que no hay puntos que satisfagan, simultáneamente, ambas ecuaciones, es decir, el sistema no tiene solución. También se dice que el sistema es inconsistente Qué resultado se obtiene con Mathematica al tratar de buscar soluciones? In[ ]:= Solve[{2x - 4y == -6, -x + 2y == 6},{x, y}] Out[ ] = {}
EJEMPLO 1.3

Represente gráficamente y obtenga la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales. 2x −x − 4y + 2y = −6 = 3

In[ ]:= ParametricPlot[{{t, (2t + 6)/4}, {t, (3 + t)/2 } }, {t, -1, 5}, AspectRatio → Automatic,PlotRange → {-1, 4}];

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1 -

1

2 1 3 2 1 1 -

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