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UNIDAD 4


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
















SESIÓN 4.1

Actividad inicial

Dos jóvenes que inician un negocio de venta de bolsas para dama, después de una semana determinan que han vendido bolsas de piel a 300 pesos cada una y bolsas de imitación de piel a 100 pesos. Si al finalizar la semana tienen una cantidad de 4 500 pesos, producto de la venta de las bolsas,requieren saber cuántas se vendieron de cada tipo para poder resarcir la mercancía e iniciar nuevamente la siguiente semana con la misma cantidad de bolsas de cada tipo.

En nuestra vida cotidiana se encuentran diferentes problemas a los que hay que dar una solución de tipo matemático, que requieren una respuesta precisa para poder tomar decisiones que determinen como continuar las actividades.

Otroproblema es el que se le presenta a un Ingeniero que se le pide que diseñe una alberca circular con un radio de 5 m y que coloque un foco en cada punto en el que se cruce la circunferencia con la parábola con vértice en uno de los puntos de la circunferencia y que tenga un lado recto igual 3 metros.

Para poder dar solución a este tipo de problemas es necesario analizar los sistemas de ecuacioneslineales y no lineales con la finalidad de conocer algunos métodos de resolución.


4.1 Gráfica de una ecuación lineal de dos variables.

Una ecuación lineal de dos variables es una expresión como:

Esta ecuación tiene varias soluciones, esto es el valor de x depende del valor de y o el valor de y depende del valor de x. Es decir, el valor que asuma una variable dependerá del valor que tenga la otrapara poder hacer valida, o que se cumpla, la ecuación.

Por ejemplo, si x = 2 entonces el valor de y será y = 1; en cambio si y = 3 entonces x = 1. Una forma en la que comúnmente se analiza una ecuación de este tipo es considerar que la variable y depende de la variable x; por lo que, la ecuación se escribe de la manera siguiente:


Con la finalidad de poder observar los diferentes valores quetendrán las variables para cumplir la ecuación, se elabora una tabla de valores que contenga dos columnas o filas; una para los valores de x y otra para los valores de y; es importante señalar que los valores para la variable x se proponen por lo que los valores de y se determinan dependiendo del valor asignado a x.

En la Tabla 4.1 se muestran los valores para la ecuación
Tabla 4.1
Valores de laecuación
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
11
9
7
5
3
1
-1

También se pueden visualizar los valores para ambas variables mediante la elaboración de una gráfica de la expresión:, como se muestra en la figura 4.1.


Figura 4.1 Gráfica de la expresión
De la figura 4.1 se puede observar lo siguiente: a medida que x aumenta en una unidad, la y desciende en 2 unidades. A esta variación se leconoce como la pendiente de la recta y se representa como: m = -2. el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas se le conoce como la ordenada al origen (cuando x = 0) y se presenta como b = (0, 5); el punto donde la recta corta al eje de las abscisas se le conoce como la abscisa al origen (cuando y = 0,, x = ), (, 0).

A continuación se analizará otra ecuación lineal en dos variables.

Ejemplo

Elaborar la tabla de valores de las variables, trazar la gráfica correspondiente identificando la pendiente, la ordenada y la abscisa al origen de la ecuaciónlineal en dos variables:

Solución

Para elaborar la tabla de valores se expresa la ecuación en la forma y = mx + b. Es decir:




En la tabla 4.2 se presentan algunos valores de las variables, por lo que es necesario completarla:

Tabla No. 4.2
Valores de la ecuación lineal en dos variables:

x
-3
-2

0


3
y
-11

-5


4



En la figura 4.2 se presenta la gráfica de la...