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LÍMITES


1- CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.


El aterrizaje de un avión proporciona una visión intuitiva del concepto de límite de una función. El avión sobrevuela a lo largo de la pista (variable x), mientras que su altura (variable y) va disminuyendo hasta hacerse 0. La pista es en este caso asíntota horizontal de latrayectoria del avión.

Dada una función f, la pregunta que hacemos es: «Si los valores de x se aproximan hacia un número a, ¿a qué número se aproximan los valores de f(x)?».

Observando las gráficas siguientes se puede contestar intuitivamente a preguntas de ese tipo:










¿A dónde se acerca (aproxima) el valor de la función cuando nos acercamos a 3 por su izquierda?

¿A dóndetiende el valor de la función cuando nos acercamos a 3 por su derecha?

¿Cómo escribiría estas respuestas en forma matemática?



















¿A dónde se acerca (o aproxima) el valor de la función cuando x se acerca a 1 por su izquierda?

¿A dónde se acerca el valor de la función cuando x se acerca a 1 por su derecha?

¿Cómo escribiría estas respuestas en formamatemática?

































¿A dónde se acerca (aproxima) el valor de la función cuando x se acerca a -1 por su izquierda?

¿A dónde se acerca el valor de la función cuando x se acerca a -1 por su derecha?

¿Cómo escribiría estas respuestas en forma matemática?













¿A dónde se acerca (aproxima) el valor de la función cuando xse acerca a 3 por su izquierda?

¿A dónde se acerca el valor de la función cuando x se acerca a 3 por su derecha?

¿Cómo escribiría estas respuestas en forma matemática?










¿A dónde se acerca (aproxima) el valor de la función cuando x crece infinitamente?

¿A dónde se acerca el valor de la función cuando x se acerca a -1 por su derecha?

¿Cómoescribiría estas respuestas en forma matemática?






Problemas propuestos:

Para las gráficas siguientes analice los límites. Exprese sus respuestas en forma matemática:























B. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.



Definición no formal de límite:

Si se aproxima al valor L cuando se aproxima, en cualquier dirección, al valor a, entonces:En la definición anterior se resalta la expresión “en cualquier dirección”. Por lo que es importante preguntarnos: ¿cuántas direcciones posibles existen de acercarnos al valor a?

Existen sólo dos: 1) por la izquierda, 2) por la derecha

Por lo tanto la definición anterior podemos expresarla como:


El límite de una función es si y sólo sí se aproxima al valor cuando se aproxima alvalor a por la izquierda como cuando x se aproxima al valor a por la derecha.

En forma matemática:


si y sólo si y


Donde

es el límite lateral por al izquierda
y
es el límite lateral por la derecha

“En otras palabras el límite de una función es L si los límites laterales de la función existen y son iguales.”


Ejemplo 1

Consideremos la función T que asocia a cadaperíodo de tiempo de duración de una llama­da telefónica su importe; si suponemos que cada 3 minutos o frac­ción importa 5 Ptas., la gráfica de T es la de la figura adjunta.

¿Cómo se comporta T en el punto x=3?

Si nos aproximamos a 3 tomando valores mayores que 3, los valores de la función son 10; pero si nos aproximamos a 3 con valores menores que 3, los valores de la función son 5.Esta situación se puede resumir diciendo que el límite de T por la derecha en el punto 3 es 10 y que el límite de T por la izquierda en el punto 3 es 5.


y

Es decir:
NO EXISTE

Ejemplo 2




a)
por lo tanto


b)
por lo tanto


Ejemplo 3

Si






y por lo tanto


Ejemplo 4

Sea
Si


¿Cómo se comporta en el punto x=1?

Si nos...