Mate3

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Sistema de ecuaciones diferenciales
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo deecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

Sistemas lineales de coeficientes constantes
Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

Donde  representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada porla exponenciación de la matriz de coeficientes:

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogéneo:

Los valores propios de la matriz son  y por tanto la exponenciación de la matriz da lugar a funciones trigonométricas al tener parte imaginaria no nula, de hecho, la solución calculada a partir de la exponenciación resulta:

Resolver un sistema de ecuaciones consite en encontrar los valoresdesconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.
Estudiaremos la resolución de los siguientes tipos de sistemas:
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Sistemas de ecuaciones no lineales.
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Sesustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga elcoeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución

Método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones enlas que tenemos despejada la x:

5 Solución:

Método de reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.Ejemplo

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
Método de Gauss
Este método consiste en utilizar el método dereducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda...