mateaticas
Páginas: 7 (1730 palabras)
Publicado: 9 de septiembre de 2015
Números reales
En matemáticas,el conjunto de los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifrasdecimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.1
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI yXVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió dedefiniciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.2 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
Números racionales
Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteroso, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien \mathbb{Q}, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye alos números enteros (\mathbb{Z}), y es un subconjunto de los números reales (\mathbb{R}).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita operiódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica. 2
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dichonúmero racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre \mathbb{Z}.
Números enteros
Los números enteros (designados por \mathbb{Z}) son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los númerosnaturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto detodos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal: −783 y 154 son números enteros, mientras que 45,23 y −34/95 no. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar...
En matemáticas,el conjunto de los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifrasdecimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.1
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI yXVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió dedefiniciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.2 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
Números racionales
Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteroso, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien \mathbb{Q}, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye alos números enteros (\mathbb{Z}), y es un subconjunto de los números reales (\mathbb{R}).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita operiódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica. 2
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dichonúmero racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre \mathbb{Z}.
Números enteros
Los números enteros (designados por \mathbb{Z}) son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los númerosnaturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto detodos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal: −783 y 154 son números enteros, mientras que 45,23 y −34/95 no. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar...
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