Matedos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL SUR

GUÍA DE ESTUDIO PARA
MATEMÁTICAS II
(ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA)

Elaborada por los profesores:
Josué Barrios Agapito
Gpe. Xochitl Chávez Pérez
Jorge Flores Serrano
Rubén B. Reyes Torres
Ma. de Lourdes Romero Miranda
Octubre de 2005

PRESENTACIÓN

Esta Guía contiene las cinco unidades del curso de Matemáticas II.Para cada tema se señalan los objetivos, se da una breve explicación del tema,
se exponen ejemplos resueltos y se proponen ejercicios, algunos con sus
soluciones correspondientes, al final encontrarás la bibliografía sugerida.

Para que puedas tener éxito en tu examen, debes estudiar los ejemplos
resueltos, resolver los ejercicios propuestos y verificar tus resultados. Si
algún ejercicio no loentiendes o no lo puedes resolver, puedes acudir con los
profesores

asesores

que

se

encuentran

en

el

edificio

“R”

junto

a

psicopedagogía.

Finalmente, recuerda que:
“El éxito está antes que el trabajo
solo en el diccionario”.

2

ÍNDICE
Tema

Pag.

1.-

FUNCIONES CUADRÁTICAS………………………………………………………………
1.1 Funciones cuadráticas………………………………………………………………………………
1.2 Gráficas de funcionescuadráticas…………………………………………………………
1.3 Problemas que involucran funciones cuadráticas…………………………………

4
4
5
13

2.-

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS………………………………
2.1 Construcciones con regla y compás…………………………………………………………
2.2 Construcción de Triángulos………………………………………………………………………
2.3 Circunferencia…………………………………………………………………………………………….

19
19
21
27

3.-

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA………………………………………………………...
3.1Congruencia………………………………………………………………………………………………….
3.1.1 Rectas paralelas cortadas por una secante………………………………………..
3.1.2 Ángulos interiores y exteriores de un triángulo………………………………
3.2 Congruencia de triángulos………………………………………………………………………..
3.3 Semejanza y teorema de Pitágoras………………………………………………………..
3.3.1 Semejanza de triángulos……………………………………………………………………….
3.3.2 Teorema dePitágoras……………………………………………………………………………

29
29
29
32
39
44
44
50

4.-

PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES………………………………………………
4.1 Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes…………………………………………….

55
55

5.-

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA ………………………………………………….
5.1 Razones trigonométricas para ángulos agudos…….………………………………
5.2 Razones trigonométricas Recíprocas.……………………………………………………
5.3 Valores inversos de las razones trigonométricas………………………………
5.4 Identidades trigonométricasfundamentales………………………………………
5.5 Ley de senos y cosenos……………………………………………………………………………..

61
62
65
66
76
78

Bibliografía……………………………………………………………………………………………………………….. 86

3

1.-

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Objetivo: Identificar funciones cuadráticas, graficarlas y resolver problemas
que involucren una función cuadrática.

1.1 Funciones cuadráticas

Definición:
Una función cuadrática tiene la forma
f ( x) = Ax 2 + Bx + C

con

A≠0

EJEMPLOS DE FUNCIONESCUADRÁTICAS
1)

f ( x) = 5 x 2 + 3 x − 4

2)

f ( x) = −7 x 2 + x +

3)

f ( x) = − x 2 +

4)

f ( x) = x 2 − 3

5)

f ( x) =

6)

f ( x) = x(2 x − 3)

3
x
2

3 2
x
4

1
4

A = 5, B = 3, C = −4

A = −7, B = 1, C =

A = −1, B =

3
, C=0
2

A = 1, B = 0,

A=

1
4

3
, B = 0,
4

C = −3

C =0

A = 2, B = −3, C = 0

Recuerda que para que sea función cuadrática: Sólo se requiere que A ≠ 0

4

EJERCICIOIndica cuáles de las siguientes expresiones representan una función
cuadrática.
1)

f ( x ) = −2 x + 3

6)

f ( x ) = (− x + 8) x

2)

f ( x ) = −7 x 2 + 3 x −

7)

f ( x) = 25 x 2 − 2 x

3)

f ( x) = (− x) 2

8)

f ( x) = − x + 1

4)

3
f ( x) = − x 2 + 2
5

9)

f ( x ) = −2 x 2 + 1

5)

f ( x ) = −7 x + x 2

10)

f ( x) = −4 + 3 x

1
3

Solución:
Representan funciones cuadráticas: 2, 3, 4, 5, 6, 7y 9.

1.2 Graficas de funciones cuadráticas

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Para
graficar una función cuadrática uno de los métodos es
tabular algunos valores de “ x ” y obtener los
correspondientes valores de “ y ” para obtener algunos
puntos y graficar; otro método es pasar de la forma:...