MatElem
Páginas: 94 (23379 palabras)
Publicado: 25 de octubre de 2015
Contenido
Cap´ıtulo 1.
L´ogica Matem´atica Ingenua
5
§1.
Proposiciones, conectivos
Cuantificadores
13
§3.
Razonamientos
´
Algebra
de proposiciones
20
§2.
§4.
Cap´ıtulo 2.
Conjuntos
5
22
25
§1.
Operaciones sobre conjuntos
26
Propiedades generales de conjuntos
30
§3.
Producto cartesiano
37
§2.
Cap´ıtulo 3.
§1.
N´
umeros enteros
41
N´
umeros naturales
41
Aritm´etica endiferentes bases
54
Justificaciones
58
§4.
Restas en 8 bits
59
Circuito semisumador
61
§6.
Divisibilidad
63
N´
umeros primos
70
§8.
Algoritmo de Euclides
74
§2.
§3.
§5.
§7.
Cap´ıtulo 4.
§1.
§2.
N´
umeros racionales
79
Axiomas de campo
79
Axiomas de orden
85
1
2
0. Contenido
§3.
§4.
M´as consecuencias
88
Representaciones en base
90
Cap´ıtulo 5.
N´
umerosreales
101
§1.
Consecuencias de los axiomas
102
Valor absoluto
105
§3.
Inecuaciones
108
§2.
Bibliograf´ıa
119
Notas de Matem´
aticas Elementales
C´esar Bautista Ramos
Facultad de Ciencias de la Computaci´on
Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla
¿Acaso ustedes lo f´ısicos, son tan obscuros, que cuando contemplan un
hermoso atardecer o la luz reflejada en un bello cuadro, s´
oloven
ecuaciones?
Debe de ser extra˜
no no ser un ci´entifico y ver las cosas sin que importen, sin
saber lo que hay detr´as. Si! s´olo vemos ecuaciones; y es que yo quiero saber.
Michio Kaku
Take the Power Back
El profesor parado enfrente de la clase
Pero no puede recordar el plan de la lecci´on
Los ojos de los estudiantes no pueden notar las mentiras
Que retumban en cada pinchie pared
Mantienebien guardada compostura
Supongo que teme parecer un tonto
Los complacientes estudiantes se sientan y escuchan
La mierda que ´el aprendi´o en la escuela.
Rage Against the Machine
Cap´ıtulo 1
L´
ogica Matem´
atica
Ingenua
La ciencia Matem´
atica trabaja con cierta clase de razonamientos muy particulares que est´an basados esencialmente en el sentido com´
un. Pero a diferencia del
sentido com´
unque puede ser relativo y ambiguo, la l´ogica matem´atica intenta
ser invariante y precisa.
1. Proposiciones, conectivos
Definici´
on 1. Una proposici´
on l´
ogica es una afirmaci´
on que s´
olo puede ser
o verdadera o falsa.
A la veracidad (o falsedad) de una proposici´on l´ogica le llamaremos valor
de verdad y denotaremos con 0 a la falsedad y 1 a la veracidad. Es decir si una
proposici´onl´ogica es verdadera diremos que tiene valor de verdad 1, mientras
que si es falsa diremos que su valor de verdad es 0.
Ejemplos 2. Las proposiciones:
(1) “No hay ning´
un numero real cuyo cuadrado sea negativo”
(2) “2+4=6”
(3) “7 > 13”
(4) “1+1=3”
5
6
1. L´ogica Matem´atica Ingenua
(5) “La capital de J´
upiter es Francia”
son todas proposiciones l´ogicas. Obs´ervese que la tercera proposici´ones
falsa, pero no por ello deja de ser proposici´on l´ogica. Tambi´en son falsas
la cuarta y la quinta. Debe notar el lector que en el lenguaje cotidiano,
muchas veces se usa el sentido de la palabra “l´ogica” para situaciones que
son verdaderas. Por ejemplo, a muchas personas les podr´ıa parecer que la
cuarta proposici´on anterior no es “l´ogica”, pensando en que no es verdadera.
En contraste,para nosotros es una proposici´on l´ogica falsa.
Ejemplos 3. La siguientes frases no son proposiciones l´ogicas:
(1) “ab = c”
(2) “a2 + 2ab + b2 ”
(3) “7+3”
(4) “Las Matem´aticas son dif´ıciles”
El problema con la primera es que no se ha especificado el contexto de los
s´ımbolos a, b, c, lo cual nos impide de calificar la ecuaci´on como verdadera o
falsa. El problema con las dos siguientes es queen ellas no se hace ninguna
afirmaci´on. Mientras que la u
´ ltima tiene un concepto ambiguo: “dific´ıl”, y
por tanto imposible de calificar como verdadera o falso.
Debemos aclarar que existen muchas clases de l´
ogicas, diferentes a la l´ogica
matem´atica cl´asica, por ejemplo la l´
ogica difusa [7], que se encarga de estudiar
las proposiciones ambiguas como la anterior 1.
Tarea 1. Escriba 6...
Cap´ıtulo 1.
L´ogica Matem´atica Ingenua
5
§1.
Proposiciones, conectivos
Cuantificadores
13
§3.
Razonamientos
´
Algebra
de proposiciones
20
§2.
§4.
Cap´ıtulo 2.
Conjuntos
5
22
25
§1.
Operaciones sobre conjuntos
26
Propiedades generales de conjuntos
30
§3.
Producto cartesiano
37
§2.
Cap´ıtulo 3.
§1.
N´
umeros enteros
41
N´
umeros naturales
41
Aritm´etica endiferentes bases
54
Justificaciones
58
§4.
Restas en 8 bits
59
Circuito semisumador
61
§6.
Divisibilidad
63
N´
umeros primos
70
§8.
Algoritmo de Euclides
74
§2.
§3.
§5.
§7.
Cap´ıtulo 4.
§1.
§2.
N´
umeros racionales
79
Axiomas de campo
79
Axiomas de orden
85
1
2
0. Contenido
§3.
§4.
M´as consecuencias
88
Representaciones en base
90
Cap´ıtulo 5.
N´
umerosreales
101
§1.
Consecuencias de los axiomas
102
Valor absoluto
105
§3.
Inecuaciones
108
§2.
Bibliograf´ıa
119
Notas de Matem´
aticas Elementales
C´esar Bautista Ramos
Facultad de Ciencias de la Computaci´on
Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla
¿Acaso ustedes lo f´ısicos, son tan obscuros, que cuando contemplan un
hermoso atardecer o la luz reflejada en un bello cuadro, s´
oloven
ecuaciones?
Debe de ser extra˜
no no ser un ci´entifico y ver las cosas sin que importen, sin
saber lo que hay detr´as. Si! s´olo vemos ecuaciones; y es que yo quiero saber.
Michio Kaku
Take the Power Back
El profesor parado enfrente de la clase
Pero no puede recordar el plan de la lecci´on
Los ojos de los estudiantes no pueden notar las mentiras
Que retumban en cada pinchie pared
Mantienebien guardada compostura
Supongo que teme parecer un tonto
Los complacientes estudiantes se sientan y escuchan
La mierda que ´el aprendi´o en la escuela.
Rage Against the Machine
Cap´ıtulo 1
L´
ogica Matem´
atica
Ingenua
La ciencia Matem´
atica trabaja con cierta clase de razonamientos muy particulares que est´an basados esencialmente en el sentido com´
un. Pero a diferencia del
sentido com´
unque puede ser relativo y ambiguo, la l´ogica matem´atica intenta
ser invariante y precisa.
1. Proposiciones, conectivos
Definici´
on 1. Una proposici´
on l´
ogica es una afirmaci´
on que s´
olo puede ser
o verdadera o falsa.
A la veracidad (o falsedad) de una proposici´on l´ogica le llamaremos valor
de verdad y denotaremos con 0 a la falsedad y 1 a la veracidad. Es decir si una
proposici´onl´ogica es verdadera diremos que tiene valor de verdad 1, mientras
que si es falsa diremos que su valor de verdad es 0.
Ejemplos 2. Las proposiciones:
(1) “No hay ning´
un numero real cuyo cuadrado sea negativo”
(2) “2+4=6”
(3) “7 > 13”
(4) “1+1=3”
5
6
1. L´ogica Matem´atica Ingenua
(5) “La capital de J´
upiter es Francia”
son todas proposiciones l´ogicas. Obs´ervese que la tercera proposici´ones
falsa, pero no por ello deja de ser proposici´on l´ogica. Tambi´en son falsas
la cuarta y la quinta. Debe notar el lector que en el lenguaje cotidiano,
muchas veces se usa el sentido de la palabra “l´ogica” para situaciones que
son verdaderas. Por ejemplo, a muchas personas les podr´ıa parecer que la
cuarta proposici´on anterior no es “l´ogica”, pensando en que no es verdadera.
En contraste,para nosotros es una proposici´on l´ogica falsa.
Ejemplos 3. La siguientes frases no son proposiciones l´ogicas:
(1) “ab = c”
(2) “a2 + 2ab + b2 ”
(3) “7+3”
(4) “Las Matem´aticas son dif´ıciles”
El problema con la primera es que no se ha especificado el contexto de los
s´ımbolos a, b, c, lo cual nos impide de calificar la ecuaci´on como verdadera o
falsa. El problema con las dos siguientes es queen ellas no se hace ninguna
afirmaci´on. Mientras que la u
´ ltima tiene un concepto ambiguo: “dific´ıl”, y
por tanto imposible de calificar como verdadera o falso.
Debemos aclarar que existen muchas clases de l´
ogicas, diferentes a la l´ogica
matem´atica cl´asica, por ejemplo la l´
ogica difusa [7], que se encarga de estudiar
las proposiciones ambiguas como la anterior 1.
Tarea 1. Escriba 6...
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