Matemática Aplicada III

Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
UNIDAD 3
DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTENIDOS:
Derivadas parciales, definición, diferenciación; interpretación geométrica. Aplicaciones
económicas: funciones marginales, elasticidades. Teorema del valor medio.
Diferenciabilidad y el diferencial total; significado geométrico de la diferencial.Plano
tangente y recta normal a una superficie. Aplicaciones económicas: sustitución de factores
en la producción, sustitución de bienes en la utilidad.
Diferenciales sucesivas. Derivadas parciales de orden superior. Derivadas de funciones
compuestas y de funciones implícitas. Funciones homogéneas. Teorema de Euler.
Funciones económicas homogéneas. Aplicaciones en la teoría de la distribución según laproductividad marginal. Ecuación del plano tangente cuando la superficie está expresada en
forma implícita. Fórmula de Taylor y Mac Laurin para funciones de dos variables.
Aplicaciones económicas.
COMENTARIOS:
Suplemento Campo La Nación 22/7/2000
Préstamos y retiros, dos factores con peso propio. Son la espada de Damocles del agro.
El negocio agropecuario tiene en el crédito y en el retiro decapital a dos de sus habituales
enemigos. El abuso de ellos puede hacer naufragar cualquier intento productivo. No
obstante, si se realizan con sentido común pueden contribuir a un resultado positivo.
DESARROLLO:
Definición: Sea una función de dos variables x e y .La derivada parcial de f con respecto
a x, es aquella función denotada por D1 f , tal que en cualquier punto(x;y) del dominio de f,
estádada por:

f(x  Δx; y)  f(x; y)
Δx0
Δx
lím

si este límite existe. Análogamente, la derivada parcial de f con respecto a y, es aquella
función denotada por D2 f , tal que en cualquier punto (x;y) del dominio de f, está dada por:

lím

Δy 0

f(x; y  Δy)  f(x; y)
Δy

si este límite existe.

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En los ejercicios 1 a 6,obtenga las derivadas parciales pedidas a partir de la definición que
toma en consideración a Δx ó Δy.
1°) f(x; y)  5x  3y  10
Solución:

D1 f(x; y)  lím

Δx0

f(x  Δx; y)  f(x; y)
5(x  Δx)  3y  10  (5x  3y  10)
5x
 lím
 lím
5
Δx0
Δx0 Δx
Δx
Δx

Este valor obtenido significa que la función variará aproximadamente en 5 unidades,
cuando la primera coordenada varíe en una unidadmientras que la segunda coordenada
permanezca constante. Es decir, por ejemplo, si consideramos f(1;0)=15 y f(2;0) = 20 se
observa que el resultado varió en 5 unidades cuando x creció en una unidad e y permaneció
constante en 0 unidades.

20
15
15-20
10-15

10

5-10
5

Series19
Series13

2°) f(x; y)  3xy  6x  y 2

Series1

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-0,2

-0,4

Series7

-0,6

-0,8

-1

0

0-5

D2f(x; y)

Solución:

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f(x; y  Δy)  f(x; y)
3x(y  Δy)  6x  (y  Δy) 2  (3xy  6x  y 2 )
 lím

Δy 0
Δy 0
Δy  0
Δy
y(3x  2y  y)
 lím
 3x  2 y
y0
y
D2 f(x; y)  lím

Por lo tanto el valor funcional se modificará aproximadamente en 3x-2y unidades, cuando
la segunda coordenada varié en una unidadpermaneciendo la primera coordenada
constante.
Por ejemplo: f(1;1)= 8
f(1; 2) = 8 O sea el valor funcional se modificó 0 unidades
cuando la segunda coordenada varió en una unidad permaneciendo constante la primera
coordenada.

10

5
Series19
Series13
Series7
Series1

1

0,8

0,6

0,4

-5

0,2

0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

0

5-10
0-5
-5-0
-10--5

-10



3°) f(x; y)  x  y
2



1
2 2

4°) f(x; y) 2x  xy  y
2

2
3
5°) f(x; y)  3x  5y

f x (x,; y)
2

Dx f(x; y); Dy f(x; y)
Dx f(x; y); Dy f(x; y)

6°) f(x; y)  5x 2 y Dx f(x, y); Dy f(x; y)
7°) Dada:

f(x; y)  3x 2  6y 2  2
calcule D1 f(x; y) 7°.a) Aplicando la fórmula cuando el incremento de x tiende 0
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7°.b) Aplicando la fórmula cuando x tiende al...