Matemática exámenes resueltos 1º Bachillerato

Colegio MARÍA AUXILIADORA
Departamento de Matemáticas
Curso 08-09

Control 19 (Curso 08-09)
1. Resuelve la ecuación:

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Matemáticas I – 1º Bach BC
Controles escritos resueltos

EXAMEN

GLOBAL

15 junio 09

3z + 1
= i (en la que i representa a la unidad imaginaria).
5−i

2. Con el mínimo número de cálculos posible halla, razonadamente, la altura de un cipréssabiendo
que la longitud de su sombra es de 3 m a una hora en la que el ángulo que forman los rayos del
sol con la vertical es de 23º 11’ 54’’.

3. Halla razonadamente el valor de α sabiendo que senα =

3
y 90º < α < 360º .
2

4. Si senα = k y 90º < α < 180º deduce el valor de sen 2α .
5. Expresa el vector a =(−1 , 2) como combinación lineal de los vectores b =(2 , 3) y c =(3 , −4).
6. Halla,racionalizada y simplificada, la distancia exacta entre las rectas r ≡ ( y = 2 x − 3) y

s ≡ ( 6 x − 3 y + 5 = 0) .
7. Si ln 2 = 0'69 y ln 3 = 1'10 Halla la función de interpolación lineal que permita aproximar el valor
de los logaritmos neperianos de los números comprendidos entre 2 y 3 y aplícala para estimar el
valor de ln 2'7.

8. Halla el valor de a para que la función definida por f( x) =

x2 − 9
sea discontinua en x = 3
x 2 + ax + 6

y justifica qué clase de discontinuidad sería.

9. Resuelve la ecuación: 1 + 2 · 3 4 x −5 = 67 dando el resultado redondeado en las centésimas.
10. Sea g ( x) = (2 x + 9) 5 halla la expresión de a ) Su derivada g ' ( x) y b) Su primitiva general G (x) .
·
2
3z + 1
( 5 −i )
= −1
3
= i ·
→ 3 z + 1 = 5i − i 2 +i 
→ 3 z =5i →
5−i
1

1.

5
z= i
3

2. Si unimos el punto más alto del ciprés con el extremo de la sombra este segmento es la
hipotenusa que completa un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura, h , del ciprés y la
longitud, l , de su sombra. El ángulo, α , que conocemos, es el opuesto a este a este último; por
lo tanto:

tg α =

3. senα =

l
l
3
⇒ h=
=
=7
h
tgα
tg 23º11' 54' '

El ciprés tiene
7 m de altura.

3
y 90º < α < 360º
2

El ángulo del primer cuadrante cuyo seno vale

3
es el de 60º . El que nos piden es aquel cuyo
2

punto asociado, en el sistema goniométrico, tiene la misma ordenada; por lo tanto, es el de
180º − 60º = 120º.
Si senα =

3
y 90º < α < 360º ⇒ α = 120º
2

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4. sen 2α = 2senα cos α =*
Obtenemos cos α a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría, teniendo en cuenta que
si 90º < α < 180º ⇒ α ∈ 2º cuadrante ⇒ cos α < 0

sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = − 1 − sen 2α ⇒ cos α = − 1 − k 2
* sen 2α = − 2k 1 − k 2

5. Para expresar a =(−1 , 2) como combinaciónlineal de b =(2 , 3) y c =(3 , −4) tenemos que hallar
dos números reales , x e y que hagan que: a = x b + y c sustituimos a, b y c por sus valores
y resolvemos la ecuación:

a = x b + y c ⇒ (−1 , 2) = x (2 , 3) + y (3 , −4) ⇒ (−1 , 2) = (2 x , 3 x ) + y (3 y , −4 y )
2 x + 3 y = −1
3E1 − 2 E 2 17 y = −7
⇒ (−1 , 2) = (2 x +3 y , 3 x −4 y ) ⇒ 
⇒ 
 3x − 4 y = 2
4 E1 + 3E 2 17 x = 2
y = −7 / 17
⇒
 x = 2 / 17

a=

2
−7
b+
c
17
17

6. Distancia entre r ≡ ( y = 2 x − 3) y s ≡ (6 x − 3 y + 5)
s ≡ (6 x − 3 y + 5) ⇔ y = 2 x +

5
⇒ Las dos rectas tienen la misma pendiente, m = 2 por lo que
3

son paralelas y la distancia entre ambas la obtenemos a partir de la fórmula de la distancia entre
un punto P ( x0 , y 0 ) de la recta r y la recta s ≡ (6 x − 3 y + 5) .6 x0 − 3 y 0 + 5

d (r , s ) = d ( P , s) =

6 2 + (−3) 2

Las coordenadas del punto P de r es cualquiera de las infinitas soluciones de su ecuación por
ejemplo P (0 , − 3) . Sustituyendo x0 por 0 e y 0 por − 3 en la ecuación anterior y efectuando las
operaciones obtenemos la distancia entre las rectas:

d ( P , s) =

6 · 0 − 3 (−3) + 5
6 + (−3)
2

2

=

14
45

=

14...