Matemática - Práctica de Inducción y binomio de Newton

Ingreso– CPC 2010

Pr´ctica 5 : N´meros Naturales
a
u

ITBA

´
PRACTICA 5
MONICA ORECCHIA Y NORA PERALTA

Ejercicio 1. En cada uno de los siguientes casos encontrar la f´rmula que expreseel
o
t´rmino general an en funci´n de n para alguna sucesi´n cuyos primeros t´rminos sean:
e
o
o
e
1. 1, 2, 3, 4, ...
2. 1, 3, 5, 7, ...
3. 1, 2, 4, 8, ...
1
4. 1, 2 , 1 , 1 , ...
3 4
5.1, 4, 9, 16, ...
6. 1, −1, 1, −1, ...
7. 1, 0, 1, 0, ...
Ejercicio 2. Demostrar las siguientes igualdades usando el principio de inducci´n.
o
1.
2.
3.
4.
5.

1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n+1)2
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n · (n + 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
2 + 6 + 18 + ... + 2 · 3n−1 = 3n − 1
a + (a + 3) + (a + 6) + ... + a + (n − 1)3 =

n
2

· (2a + (n − 1)3)

Ejercicio 3.Probar las siguientes igualdades para todo n ∈ N
n
1
n
1.
i=1 (2i−1)(2i+1) = (2n+1)
2.
3.
4.
5.

n
(i−1)
= 1 + (n
i=1 i2
n
i
2 = 2n+1 − 2
i=1
n
(n+2)
i
i=1 2i = 2 − 2n
n
2n+12 i
i=1 ( 3 ) = 2 − 3n

− 1)2n

Ejercicio 4. Reescribir las sumas indicadas en cada una de las siguientes f´rmulas usando
o
el s´
ımbolo
y probar por inducci´n que las igualdades sonverdaderas para todo n ∈ N
o
1. 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)
6
2. 2 + 7 + 12 + ... + (5n − 3) = n (5n − 1)
2
3. 12 − 22 + 32 + ... + (−1)(n+1) n2 =

(−1)n+1 n(n+1)
2

Ejercicio 5.Demostrar usando el principio de inducci´n
o
2
1. n + n es divisible por 2
2. 10(n+1) + 10n + 1 es divisible por 3
3. 8n − 5n es divisible por 3
4. 32n − 1 es divisible por 4

1

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Pr´ctica 5 : N´meros Naturales
a
u

ITBA

Ejercicio 6. Probar las siguientes propiedades
m
m
1.
=
n
m−n
m−1
m−1
m
2.
+
=
n
n−1
n
Ejercicio 7. Hallar x tal que
5
5
1.
=4x − x2
6−x
8
8
2.
=
−2x + x2
3x − 12
Ejercicio 8. Desarrollar las siguientes potencias
6

1
1. (−2a2 + a )
√
√ 4
2. ( x + y)

Ejercicio 9. Hallar el t´rmino que se indica
e
1....