Matemática

APROXIMACION POLINOMICA DE FUNCIONES 
Teorema: Supongamos que tenemos dos funciones y que son continuas en , tale que , con derivadas continuas hasta orden n en , . Si para todo lim , se cumple que no se anula para cualquier 1 0 entonces para algún , se cumple: , 0 y lim

Demostración:

Sea la función:

Es claro que que:

0, por el teorema de Rolle tenemos existe un 0

,

tal

Porconstrucción de

se sigue que: 0

De donde se obtiene:

Supongamos que el Teorema es cierto hasta la derivada de orden k, es decir existe un , que cumple podemos definir la función :

como no se anula en , y es continua en , condiciones del teorema de Rolle, por lo que existe un 0 Entonces:

tenemos que , tal que:

satisface las

Y como

y

tiene derivadas continuas hasta ordenn en lim 0 y lim

,

tenemos: 0

Se sigue:

De aquí tenemos por inducción una sucesión particular c satisface:

,

,

de números en

,

talque en

Teorema de Taylor: Supongamos que una función : derivadas hasta de orden n+1 continuas en existe un , tal que: 1 ! Demostración: sean las funciones: ∑ Notemos que las funciones hasta orden n+1 en , ,
!

es continua en

,

con. Si lim 1 1 !

entonces

y y que son continuas y con derivadas continuas además y tal que: no se anula para 0 y lim 0

cualquier 1 1 y como claramente lim se tiene por el teorema anterior que existe un ,

Despejando:

1 ! 1 !

1 !

POLINOMIO DE TAYLOR 
Supongamos : una función con derivadas hasta orden m+1 continuas se sigue del teorema de Taylor que el polinomio (llamadoPolinomio de Taylor de la función centrado en ): 1
,

!

con un error es una aproximación a en torno de , , conocido en el argot como Resto del Polinomio de Taylor de orden m que viene dado por una de las siguientes formulas: 1. Formula del Resto de Lagrange. Para un cierto 1
,

entre

y

se tiene:

1 ! 1
,

2. Forma Integral del Resto. !

El Polinomio de Taylor lo que hace es darnosun método para simular una función o aproximarnos su valor mediante una función polinomio siendo exacta en el centro del polinomio que es además de darnos una fórmula para el cálculo del error cometido. Por lo tanto tenemos varios tipos de aproximación a la función continuación: a. Aproximación por una constante:
,

como mostraremos a

b. Aproximación por una recta:
,

c. Aproximación poruna cuadrática:

d. Aproximación por un polinomio de grado n:

El efecto de estas sucesivas aproximaciones las podemos ilustrar en el grafico siguiente donde con curva de color negro y las otras curvas de colores corresponden a distintas aproximaciones por polinomios de Taylor con diferentes grados centrados todos en .

Ejercicio 1: Determine el grado de los polinomios en la grafica y elcentro de los distintos polinomios de Taylor.

Encontrar un Polinomio de Taylor con un error menor a 0.01 para todo basta con responder a la pregunta, ¿Para que n Calculemos el valor de n tal que:

Problema:

para aproximarnos a la función . Para responder esta pregunta para cualquier ?.

vemos que la respuesta a la pregunta depende del valor de x. Como la aproximación de la funciónexponencial es para todo x menor a 1000 y la función exponencial es monótona creciente podemos acotar como sigue: 1000

,

1 ! 1 !
∑

1 !

1 !

Notemos que

, buscando una fórmula más adecuada: | 1 1

Entonces:
,

0.01

Por ser la función exponencial monótona creciente: 1000 3 1 3 10 1 1000 1 1 10 1 1000 1 1 1 1 1 100 1 100 1 10 1 2 2 10 10 1000

Como la función logaritmo esmonótona creciente tenemos: 1 1 1000 100 1 Haciendo 1 tenemos: 1 1

si llamamos 1 4.605 tenemos que la Por lo que 4.605 1 es una función continua monótona creciente y que 0 0 1 por lo que posee una raíz en 1,2 . Hallemos la raíz de la ecuación con el método de NewtonRaphson. La ecuación es monótona creciente por lo que nuestra técnica de aproximación será:

para nuestro caso particular:

1 2...