Matemática

Demostración de la fórmula para las soluciones de la ecuación de segundo grado Hipótesis: Sea a, b, c  , a  0 y P x un polinomio de grado dos, tal que 

ax2  bx  c  0 es una ecuación desegundo grado.
Tesis: x 

b  b2  4  a  c 2a
1 a

Tenemos la ecuación de segundo grado

ax2  bx  c  0 , entonces, lo primero que haremos es multiplicar por
ax 2 bx c    0 , sesimplifican los “a” y queda lo siguiente a a a bx c c x 2    0 , luego se suma el inverso aditivo de a a a bx c c c x 2      , entonces queda a a a a
x2 

bx c   , cuando tenemos esta expresión,lo que tenemos que hacer es completar a a

cuadrados, de tal manera de formar un cuadrado de binomio, entonces en el segundo término amplificaremos por 2.

x2 

2bx c   , ahora podríamosacomodar un poco la expresión, para que nos quede de la 2a a

siguiente manera

c  b  x 2  2     x   , que sigue siendo la misma expresión, entonces si recordamos la a  2a 
definición deun cuadrado de binomio, nos dice que  a  b   a 2  2ab  b2 , entonces , si
2

nos fijamos en nuestro ejercicio tenemos una cierta relación, x sería nuestro primer término, y

b nuestrosegundo término, x ya está al cuadrado, lo único que falta es el segundo término al 2a
cuadrado, entonces lo agregaremos en la ecuación. Sumamos en ambos lados de la igualdad

 b     2a 

2

c b   b   b  x2  2     x         a  2a   2a   2a 

2

2

Entonces en el lado izquierdo tenemos un cuadrado de binomio, el cual quedaría factorizado de la siguientemanera:

b  c b2  x      2 , luego sumamos las fracciones que están al lado derecho de la  2a  a 4a 
igualdad, donde el m.c.m. es 4a 2

2

b  c(4a)  b 2  , haciendo un pequeño arregloen la ecuación nos queda lo x    2a  4a 2 
2

siguiente

b  b 2  4ac  , ahora lo que tenemos que hacer, es aplicar la raíz cuadrada x    2a  4a 2 
2

b  b 2  4ac  ,...