Matemática

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MA0250 CALCULO EN UNA VARIABLE I
WILLIAM J. UGALDE, II - 2013

Escuela de Matem´tica, Universidad de Costa Rica.
a
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1. Introduccion
Este material fue dise˜ado para el primer curso de una secuencia de tres
n
cursos de c´lculo. Dos de c´lculo en una variable real y uno de c´lculo en
a
a
a
varias variables reales. A lo largo de esta secuencia de cursos se cubren algunos delos temas usuales del c´lculo, presentando el material en una forma
a
rigurosa. Adem´s se ven algunas aplicaciones dando ´nfasis al planteamiento
a
e
y resoluci´n de problemas.
o
Al invitar al lector a leer estas notas, la primera observaci´n es que no es
o
necesario leerlas en forma lineal. Siempre que el lector tenga familiaridad
con algunos conceptos, puede sentirse en completalibertad de leer secciones
seleccionadas.
El objetivo de estas notas en cubrir el material referente al c´lculo difea
rencial en una variable, siempre con la intensi´n de desarrollar el buen uso
o
del lenguaje l´gico matem´tico. Al inicio del curso y para continuar con el
o
a
estudio de los n´meros reales, se presenta el axioma del extremo superior y
u
algunas de sus aplicaciones yconsecuencias. Tambi´n de dedica una secci´n
e
o
a estudiar el concepto de funci´n real de variable real, las cuales son el
o
objeto b´sico de estudio tanto en el c´lculo como en el an´lisis real. De
a
a
a
los temas propios del c´lculo diferencial se cubren los conceptos de l´
a
ımite,
continuidad y derivabilidad de una funci´n real de variable real y algunas de
o
las aplicaciones de dichosconceptos, como el estudio de m´ximos y m´
a
ınimos
y aproximaciones.
Al inicio de cada cap´
ıtulo se presenta una breve descripci´n del contenido
o
del cap´
ıtulo y una lista de los objetivos de aprendizaje que indican las metas
que se desean alcanzar.
Las listas de ejercicios en cada secci´n son extensas, y es central para
o
la formaci´n del estudiante, que intente resolver todos ycada uno de los
o
ejercicios propuestos.
Contenidos
1. Introducci´n
o
2. Los n´meros reales
u
2.1. Axiomatizaci´n de los n´meros reales
o
u
2.2. Axioma del extremo superior

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1 Introducci´n
o
2.3. Intervalos
3. Funciones
3.1. Funciones de R en R
3.2. Trabajando con funciones
3.3. Representaci´n gr´fica
o
a
4. L´
ımites
4.1. Acerc´ndose a un punto
a
4.2. Eljuego de y δ
4.3. Definici´n de l´
o
ımite
4.4. Teoremas sobre l´
ımites
4.5. L´
ımites con funciones trigonom´tricas
e
4.6. L´
ımites laterales
4.7. L´
ımites infinitos
4.8. L´
ımites al infinito
4.9. Exponencial y logaritmo
5. Continuidad
5.1. Funciones continuas
5.2. Teoremas fundamentales
5.3. Continuidad uniforme
6. La derivada
6.1. La pendiente de la recta tangente
6.2. Laderivada
6.3. La derivada lateral
6.4. La diferencial
6.5. Teoremas sobre derivabilidad
6.6. Monoton´
ıa
6.7. Formas indeterminadas
6.8. Teorema de Taylor
6.9. Concavidad
6.10. Gr´ficas de funciones
a
6.11. Aplicaciones de la derivada
7. Bibliograf´ recomendada
ıa
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Indice Alfab´tico
e

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68
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71
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89
89
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95
96102
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´
2. Los numeros reales
En este cap´
ıtulo se introducen brevemente (pues es material del curso
anterior) los n´meros reales. Se discute r´pidamente una presentaci´n axiou
a
o
m´tica de estos que permite establecer resultados importantes, los cuales se
a
utilizar´n en los cap´
a
ıtulos siguientes a la hora de manipularlos.
Elobjetivo central de este cap´
ıtulo es estudiar el axioma del extremo
superior y algunas de sus consecuencias, que ser´n muy utiles en las secciones
a
´
posteriores.
En la ultima parte de este cap´
´
ıtulo, se estudia un peque˜o apartado sobre
n
intervalos en R, que servir´ para sustentar el trabajo en el resto del curso.
a
Dentro de los objetivos de aprendizaje de este apartado se...