Matemática



2 + 2 i  235
⋅i

1− i 

1.- Resolver en forma binómica: 



(

)

2 + 2 ⋅ i ⋅ (1 + i)

=

2 + 2 ⋅ i + 2 ⋅ i + 2 ⋅ i2
⋅i =
⋅ (−i) =
1− i 2
2
2 + 2 2 ⋅i − 2
− 2 2 ⋅ i2
=2
⋅ (−i) =
2
2
3

2.- Calcular todos los resultados de la siguiente ecuación en C. Representar gráficamente.
Indicar la diferencia de fase (diferencia angular) entre los resultadosobtenidos. Señalar cómo
la calcula. Expresar los resultados en la forma polar o trigonométrica y en la forma binómica.
x4 + i = 0

1º.) sabemos que en el campo de los números complejos una raíz cuarta tiene cuatro soluciones:

4

4

4

x = −i ⇒ x = −i = e
4

x= e

3


i π+2kπ


2



⇒x=e

3
iπ
2

3



i π+2kπ

2


4

⇒ x=e

3
π

iπ+k 


8

2

[1]

Reemplazamos en [1], k=0,1,2,3:

k = 0 ⇒ x0 = e

k = 1 ⇒ x1 = e

3
iπ
8

3 
= cis  π = 0, 38268 + 0, 92388 ⋅ i


8 



 3 π
i π+ 

8

2

k = 2 ⇒ x2 = e

k = 3 ⇒ x3 = e

=e



π
3
i π+2⋅ 

8

2


π

3
i π+3⋅ 

8

2

7
iπ
8

11
iπ
8

11 
= cis  π = −0, 38268 − 0,92388 ⋅ i



8 


15
iπ
8

15 
= cis  π = 0, 92388 − 0, 38268 ⋅ i



8 


=e

=e

7 
= cis  π = −0, 92388 + 0, 38268 ⋅ i


8 

1

2) como tenemos que calcular una raíz cuarta,

ϕ=

2π 2π
π
=
⇒ ϕ=
n
4
2

n=4

y la fase vale

; tendremos una solución cada 90o

3o.) Finalmente la representación gráfica:

2

3.- Indicar si lasiguiente proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, demuéstrelo, si
fuera falsa, demuestre o brinde un contraejemplo.
“Dos números complejos escritos en la forma polar o trigonométrica son iguales si y sólo si
sus módulos y sus argumentos son respectivamente iguales”.
1º.) Una posible demostración es la siguiente: sea
Supongamos que

k = n ⇒ zn = ρ⋅ e (

i ϕ+2nπ)

i⋅ϕ+2(n+1)π

k = n + 1 ⇒ z n+1 = ρ⋅ e 

z = ρ⋅ e (

i⋅ ϕ+2kπ)

donde k ∈ ℤ

y ahora

= ρ⋅ e (

i⋅ ϕ+2nπ+2 π)

= ρ⋅ e (

i⋅ ϕ+2nπ)+2 π⋅i

=

= ρ⋅ e (

i⋅ ϕ+2nπ)

⋅ ei⋅2π
i⋅2 π
donde sabemos que e
= cos 2π + isen2π = 1 + 0 ⋅ i = 1
Conclusión: aunque los argumentos de z n y z n +1 son distintos, ambos complejos son iguales.
La afirmación es falsa, porque el "sí y solo sí"excluye la posibilidad de que, siendo distintos los
argumentos, los complejos sean iguales.
2º.) Un contraejemplo, al ser falsa la proposición, también resuelve el problema.





π
π
 2 + i 2  = 2 + 2 ⋅i

Sea z1 = 2 ⋅ e = 2 cos + isen  = 2 






2
4
4
2


9π


i




4

cos 9π + isen 9π  = 2 2 + i 2  = 2 + 2 ⋅ i

y sea z 2 = 2 ⋅ e= 2





2
4
4
2

i

Conclusión:

π
4

z1 = z 2

aunque

ϕ1 ≠ ϕ 2 .

3

4- Demuestre que: “La norma del producto vectorial entre dos vectores no paralelos es el área
de un paralelogramo cuyos lados son los vectores dados”.

1o.) La situación es esta:

En el plano cartesiano tenemos originalmente los vectores u 0 y v0 , que, siendo coplanares no
sonconcurrentes. Por eso utilizamos dos vectores, equipolentes a ellos que sí son concurrentes:

u y v ; ahora la situación queda así:

uyv

determinan un paralelogramo cuya área es:

Á (PQRS) = base ⋅ altura = PS ⋅ QT [1]
PS , la base del paralelogramo es la norma del vector PS = u , es decir
PS = PS = u [ 2]

2o.)

QT se resuelve mediante trigonometrìa:
QT
senϕ =
donde el segmento PQtiene por medida la norma del vector v :
PQ

3o.) la altura

4

senϕ =

QT
v

⇒ QT = v ⋅ senϕ [3]

4o.) reemplazamos [2] y [3] en [1]:

Área (▱PQRS) = u ⋅ v ⋅ senϕ
y, por definición de norma del producto vectorial:
concluìmos que:

u × v = u ⋅ v ⋅ senϕ

Área (▱PQRS) = u × v
L.Q.Q.D.(lo que queríamos demostrar)

Considere los vectores a = ( m; −1;2 ) , b = ( 3;0;4 ) y c =...