Matemática

Teoría intuitiva de conjuntos
En la introducción, o en algún lugar especial, de los libros de la teoría axiomática de conjuntos suele darse una explicación de por qué es necesario fundamentar la teoría de conjuntos y dejarla construida a partir de unos cuantos axiomas. Estos axiomas son, en su mayoría, principios evidentes de por sí una vez que se ha comprendido previamente como deben comportarselos conjuntos o, por lo menos, cuando ya se tiene una idea de esto. Por esa razón, es más que justificable la revisión de una exposición intuitiva de la teoría de conjuntos, como el que incluimos aquí, en donde se expongan unas cuantas cosas, de forma rápida e intuitiva, que familiaricen al lector con los conjuntos, sus relaciones y operaciones; de esta manera el lector no encontrará (esperamos)dificultades mayores a la hora de enfrentarse a la teoría axiomática de conjuntos, donde los principios de los que se parte son formalizaciones y restricciones ad hoc de las propiedades que uno ya le suponía a los conjuntos.

Conjuntos
Lo principal para nuestro desarrollo de la teoría (intuitiva) de conjuntos es aceptar que es posible ‘comprimir’ o ‘substancializar’ una colección o conjunto (quepara este caso son lo mismo) de cualesquiera objetos y, así, poder considerarla como un todo o, mejor dicho, como una única cosa que tratar. Los objetos de un conjunto se llaman elementos de dicho conjunto.
1.1.1. Desde luego, la relación más básica de la teoría de conjuntos es la que existe entre los elementos y su conjunto: la relación de pertenencia. Como es la regla hoy en día, escribiremosPara indicar que el objeto es uno de los elementos del conjunto. Es decir, el símbolo "", una versión de la letra griega (épsilon), lo usaremos para representar la relación de pertenencia[1]. Los argumentos de una relación son los objetos que acompañan a esa relación. En el ejemplo , los argumentos de la relación son (primer argumento) y (segundo argumento). Así, puede decirse que los primerosargumentos de la relación pertenecen al universo de los elementos, mientras que los segundos argumentos de esta misma relación pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es un conjunto (algo que, por ciertas razones que se verán en su momento, haremos cuando se desarrolle la teoría axiomática de conjuntos), entonces los primeros y segundos argumentos de pertenecen al mismouniverso.

La negación de la escribiremos
.
Ejemplo: Consideremos el conjunto . Con esto lo que estamos haciendo es denominar por al conjunto . Pues bien, podemos decir entonces que y que .

1.1.2. Diremos que dos conjuntos e son iguales, lo que se representa por , si y solo si e consisten de los mismos elementos. Así pues, siempre que
Si y solo si
Para todo elemento (i.e. si todo elemento de es elementode y, recíprocamente, si todo elemento de es elemento de).
Ejemplo: Siguiendo con nuestro ejemplo, según nuestro criterio vemos que . En efecto, cada uno de los elementos del conjunto de la izquierda es un elemento del conjunto de la derecha, y viceversa. Podemos pues considerar que ambos conjuntos son iguales, y, como hicimos antes, podemos identificar entonces como a cualquiera de ambos.
1.1.3.Por otra parte, como un hecho más general que la igualdad, un conjunto es subconjunto de otro , lo que se representa por
,
siempre que
implica
Para cualquiera que sea el elemento (i.e., si todo elemento de es elemento de). Claramente

Para todo conjunto, por lo que se dice que la relación es reflexiva. También tenemos que
Y si y solo si,
y que
E implica
Para cualesquiera conjuntos, y. Estos doshechos muestran, respectivamente, que la relación es antisimétrica y transitiva (véase más adelante relaciones).

1.1.4. Si y (i.e. si tiene por lo menos un elemento más que ) se dice que es subconjunto propio de , lo cual se representa por
.

^ Peano fue el primero en representar la relación de pertenencia por la letra en sus Arithmetices Principia (1889), por ser la primera letra de la palabra...