matemáticas 3

INTRODUCCIÓN A
LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

GENNY ALEXANDRA NAVARRETE MOLANO

Trabajo de grado para optar por el titulo de
Matemático

DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA
Matemático Universidad Nacional de Colombia
Docente Facultad de Matemáticas

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
Bogotá, Diciembre 2003

Resumen
Se presenta una introducción a las ecuaciones en diferencias.Primero se
enuncian los conceptos de sucesión y series necesarios para el desarrollo del
tema. Posteriormente se explican las ecuaciones en diferencias de primer
orden siguiendo con las ecuaciones en diferencias de orden dos y orden N, a
continuación se muestra un concepto básico de sistemas de ecuaciones
lineales en diferencias, y por ultimo un paralelo entre ecuaciones en
diferencias yecuaciones diferenciales.

Abstract
Introduction to the Difference Equations:
An introduction to the differences equations appears. First, necessary
succession and series concepts are enunciated for the development of the
topic. Later first order differences equations are explained and follow the
second order and N-order differences equations, next a basic notion of linear
systems indifferences equations is shown; finally, a brief comparison
between difference equations and differential equations is presented.

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Introducción 4
Reseña histórica............................................................................................ 5
1. ECUACIONES EN DIFERENCIAS .................................................. 8
1.1 Sucesiones Aritméticas y Geométricas............................................. 8
1.2 Ecuaciones en Diferencias ................................................................. 8
1.2.1 Ecuaciones en Diferencias lineales de primer orden con
coeficientes constantes. ...................................................................... 10
1.2.2 Ecuaciones en diferencias y razones comunes no constantes 14
1.3 Métodos de solución por Diferenciasy Sumas .............................. 15
1.3.1 Diferencias ................................................................................. 15
1.3.2 Diferencias de polinomios......................................................... 15
1.3.3 Sumas ......................................................................................... 17
1.3.4 Algunas propiedades de los operadores ∆............................. 18
1.3.5 Aplicación de la sumatoria. ...................................................... 19
1.3.6 Diferencias de segundo orden y orden N. ............................... 20
2. ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINELAES DE ORDEN
SUPERIOR ................................................................................................. 23
2.1 Ecuaciones en diferencias lineales.................................................. 23
2.1.1 Soluciones generales de Ecuaciones en Diferencias lineales
homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes ........... 25
2.1.2 Soluciones particulares de ecuaciones en diferencias lineales
de segundo orden con coeficientes constantes ................................. 27
2.1.3 Ecuaciones en diferencias lineales de tercer ordeno superior
.............................................................................................................. 27
2.2 Sistemas lineales de ecuaciones en diferencias .............................. 28
2.2.1 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos .......................... 29
2.2.2 Sistemas no homogéneos........................................................... 31
3. ECUACIONESEN DIFERENCIAS Y ECUACIONES
DIFERENCIALES..................................................................................... 32
3.1 Analogías entre el cálculo de diferencias y el cálculo diferencial32
3.2 La ecuación en diferencias como aproximación a la ecuación
diferencial. .............................................................................................. 33
3.3 Un modelo...