Matemáticas Avanzadas

Matemáticas Avanzadas

Tema 1

Introducción.

1.1 Definiciones básicas y terminología.

1.1.1 Definición de ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es una ecuación que relacionados o más variables en términos de derivadas o diferenciales. También se puede establecer que es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto auna o más variables independientes.

Así, la ecuación diferencial más sencilla tiene la forma

[pic]

donde f(x) es una función dada de la variable independiente x. Su solución puedeobtenerse inmediatamente por integración:

[pic]

Similarmente, la forma general de una ecuación diferencial de dos variables es:

[pic]

la cual puede ser resuelta inmediatamente si f(x,y) es devariables separables. Si f(x,y) = F(x)/G(y), entonces la solución es:

[pic]

Los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales:

Ejemplo 1. [pic] donde [pic]

Ejemplo 2.[pic]
Ejemplo 3. [pic]
Ejemplo 4. [pic] ó [pic]
Ejemplo 5. [pic]

1.1.2 Definición de orden, grado y linealidad de una ecuación diferencial.

a) Orden. El orden de la derivada másalta constituye el orden de la ecuación diferencial

b) Grado. Si una ecuación diferencial ordinaria puede ser expresada como un polinomio de la variable dependiente y sus derivadas, entonces sugrado es el exponente entero que presenta la derivada de más alto orden (de la variable dependiente) en la ecuación diferencial.

c) Linealidad. Si en una ecuación diferencial la variabledependiente junto con todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de cada término en y es 1, y además cada coeficiente involucrado depende sólo de la variable independiente x, se diceque es una ecuación diferencial lineal. Caso contrario, una ecuación que no es lineal, se dice que es no lineal.

[pic] Ecuación general

Ejemplos:

(1) [pic] Segundo orden, grado...