Matemáticas - calculo diferencial

CÁLCULO
DIFERENCIAL
E
INTEGRAL
Primera Versión 2008

´
Indice general
1. L´
ımites y continuidad
1.1. Los n´ meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
1.1.1. La aritm´tica de los n´ meros reales: axiomas de cuerpo . . . .
e
u
1.1.2. Comparaci´n de los n´ meros reales: axiomas de orden . . . . .
o
u
1.1.3. Resoluci´n de desigualdades o inecuaciones. . . . . . . . . . .
o
1.1.4. Una distancia en R: el valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. La continuidad de R: el axioma del supremo . . . . . . . . . . .
1.2. L´
ımites de funciones num´ricas de variable discreta. . . . . . . . . . .
e
1.2.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
1.2.3. Divergencia de sucesiones hacia ±∞ . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Las funciones num´ricas de variable continua . . . . . . . . . . . . . .
e
1.3.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a
1.3.2. Representaci´n gr´fica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
1.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. L´
ımites de funciones num´ricas de variable continua . . . . . . . . . .
e
1.4.1. L´
ımites finitos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
1.4.2. L´
ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. L´
ımites finitos cuando la variable independiente crece o decrece
definidamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Las funciones circulares o trigonom´tricas . . . . . . . . . . . .
e
1.4.5. Definici´n de las funciones circulares o trigonom´tricas . . . . .
o
e
1.4.6.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
iii

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1
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11
16
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39
56
56
58
69
77
95
99
99
105
108
123
127
127
134

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135
142
144
171
189
192
192

1.5.2.
1.5.3.
1.5.4.
1.5.5.
1.5.6.

Continuidad de funciones elementales
Discontinuidades removibles . . . . . .
Propiedadesde las funciones continuas
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . .
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . .

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195
196
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202
215

2. La derivada y sus aplicaciones
2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2.Definici´n y f´rmulas b´sicas de la derivada . . . . . . . . . . . .
o
o
a
2.2.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
2.2.2. F´rmulas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2.3. Las derivadas de las funciones trigonom´tricas . . . . . .
e
2.2.4. Las derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5. Ejercicios resueltos . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Teoremas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Derivadas de las inversas de las funciones trigonom´tricas
e
2.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....