Matemáticas Discretas: Relaciones

Matemáticas Discretas

Unidad 5: Relaciones

Profesor. Royce Enriqure Rodríguez Castillo

Rolando Núñez Domínguez No. Control 13550410

Carlos Elías Ibarra Chávez No. Control 13550382

Fecha de Entrega
02/12/2013













Objetivo General de las Relaciones
¿Para qué sirven las Relaciones?
Sirven para medir sucesos cuantificables, sobre todo en computación. Porejemplo para hacer un compilador requieres esas funciones para desarrollar los autómatas de estado finito que interpretan el lenguaje de programación, como C++, pascal, etc. 
¿Dónde se aplican las Relaciones?
Las relaciones binarias se utilizan en muchos ramas de las matemáticas para modelar conceptos como "es mayor que", "es igual a", y "se divide" adentro aritmética, "a "adentro geometría, "estáadyacente" a adentro teoría de gráfico, y muchos más.
¿Cuándo se aplican las Relaciones?
¿Cómo se aplican las Relaciones?













5.1. Concepto Básico
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B. Dados dos conjuntos A y B una relaciónes un subconjunto del producto cartesiano A x B. Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B. 
Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relaciónsería R = {(a,1),(c,2)}. A las relaciones también se les llama correspondencias. 


Imagen tomada de: http://mdiscretas.blogcindario.com/ficheros/paginawebm_discretas/unidad5.html
Par ordenado
Las partes de un par ordenado son:
Primer conjunto
Primer componente
Segundo conjunto
Segundo componente
Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:
a es el primer componente del primerconjunto y;
b como el segundo componente del segundo conjunto.
Matemáticamente esto se expresa:

y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A e y pertenece a B.
Producto cartesiano

Definimos los conjuntos:

imágen tomada de: http://usoderelacionesmatematicasdiscretas.blogspot.mx/


Obtenemos el producto cartesiano de A por B,colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.
La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:

imágentomada de: http://usoderelacionesmatematicasdiscretas.blogspot.mx/

Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano
Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, por ejemplo: mayor que, que se puede expresar:

que por extensión resulta:

Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto cartesiano de losconjuntos.3

Esto último permite estimar el número de relaciones binarias entre dos conjuntos si:


imágenes tomadas de: http://usoderelacionesmatematicasdiscretas.blogspot.mx/

entonces el número de relaciones binarias posibles entre los conjuntos A y B viene dado por:


Donde si alguno de los dos conjuntos es infinito el número anterior debe entenderse como un número transfinito.5.2. Propiedades de las Relaciones
Relación Reflexiva e Irreflexiva.-
Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros. 

Una relación A es:

Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo,...