Matemáticas Discretas - Teoría de Conjuntos

1.- Características de los Conjuntos
• ¿Qué es un Conjunto?
El conjunto fue definido por Georg Cantor (quien fue uno de los fundadores de la teoría de conjuntos), y dió como definición:
“entiendo en general por conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley”.
Los elementoso miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.
La propiedad más básica de los conjuntos es el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.

REFLEXIÓN:






(A y B tienen los mismos elementos si cada elemento de A es elemento de B y cada elementode B pertenece a A.)
• Ejemplos y características:
Un ejemplo puede ser el conjunto de los colores del arcoíris que es:

A= {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primoses:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:


S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes,Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
A= {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}


Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse medianteoperaciones, de manera similar a las operaciones con números.

• Descripción de un conjunto
Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:
Una de ellas es mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica, como por ejemplo:
A es el conjunto cuyos miembros son los cuatro primeros números naturales.
B es el conjunto de colores de la bandera deMéxico.
La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos de los conjuntos entre llaves:
C = {4, 2, 3, 1}
D = {blanco, rojo, verde}
Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Porejemplo:
"El conjunto de las vocales en español" = {e, u, a, i, o}
En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D
Existe otra manera de describir o especificar los elementos de un conjunto, por ejemplo, para definir al conjunto F formado por los elementos 1, 2 y 3, lo haríamos del siguiente modo:
F = { 1 , 2 , 3 }
Notamos, sin embargo, que dicho conjunto está formado por los númerosnaturales menores a 4. Podemos, sabiendo esto, definir este conjunto Por comprensión, es decir mencionando la característica que define sus elementos. De este modo, representamos:
F = { x " N / x < 4 }
Donde N representa el conjunto de los números naturales.
y se lee: "F” es el conjunto formado por los elementos “x”, tales que los elementos “x” son menores que 4.






• Pertenencia
Larelación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por a ∈ B, y si no lo es, se denota por a ∉ B. Por ejemplo, respecto a los conjuntos A y B de la sección anterior, podemos decir:
4 ∈ A y verde ∈ B, pero
7 ∉ A y azul ∉ B
Y se dice entonces que —por ejemplo—, 4 pertenece al conjunto A, es un miembro de A, está en A,...