Matemáticas II

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y
ARQUITECTURA
UNIDAD ZACATENCO

INGENIERÍA CIVIL
ASIGNATURA:
MATEMÁTICAS II
IMPARTE:
ING. MAURICIO SUÁREZ LEDEZMA

La Técnica al Servicio de la Patria
MAYO 2006

COEFICIENTES HOMOGÉNEOS

ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas

dy
 y
 g 
dx
xConsidérese una ecuación de la forma
cociente y/x.

donde g es una función del

Para que en esta ecuación sea posible separar las variables es necesario definir la siguiente
transformación de variables:
y

v

o en forma equivalente

y  vx

x

Lo que permite cambiar la variable dependiente “y” por “v”, pero manteniendo como
variable independiente a “x”. Si se deriva esta última ecuación con respectoa “x” se
obtiene:

dy
dv
vx
dx
dx

Comparando este resultado con la ecuación original, se observa que ambas ecuaciones
representan a dy/dx e igualándolas se obtiene:
dv

vx

dx

 g (v)

La cual puede resolverse mediante separación de variables de la siguiente forma:
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?

 dx   dv


 x  g (v )  v
Finalmente se reexpresa la solución en términos de lavariable dependiente inicial (y).
EJERCICIOS

1/10

COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
EJEMPLO:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden

Determinar la solución general de

x 2  xy  y 2 dx  xy dy  0

SOLUCIÓN (Opción 1).
Verificando que los coeficientes de las diferenciales
sean funciones homogéneas:

M  x, y   x 2  xy  y 2

N  x, y    xy

;

M x, y   x 2 x y   y 2





M x, y   2 x 2  xy  y 2  2 M  x, y 
N x, y   x y   2  xy   2 N  x, y 

4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?

Ya que son homogéneas y del mismo grado (2)
cualquiera de las sustituciones y=vx ó x=vy son
posibles.
Considerando que y=vx y dy=vdx+xdv ...

x
x
x
x



2

 xvx   vx 2 dx xvx vdx  xdv  0

2

 x 2 v  v 2 x 2 dx  x 2 v 2 dx  x 3vdv  0

2

 x 2 v  v 2 x 2  x 2 v 2 dx  x 3vdv  0

2

 x 2 v dx  x 3 vdv  0





x 2 1  v dx  x 3vdv  0



x 2 1  v dx  x 3vdv
x2
x3




dx 

v
dv
1 v

x2

v
dx  
dv

 1 v
x
 dx   v dv


 x  1 v
 dx    v dv


 x
 1 v
 dx    v  1  1 dv


 x
 1 v
 dx   1  v  1 dv


 1v
 x
 dx   1  v dv    1 dv



 x
 1 v
 1 v
 dx   dv    dv



 x
 1 v
ln  x   v  ln 1  v   c
ln  x   v  ln 1  v   c
3

ATRÁS

ADELANTE

2/10

COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
SOLUCIÓN (Opción 2).
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos

ln x 1  v   v  c

Verificando que los coeficientes de las diferenciales
sean funciones homogéneas:

e ln x 1  v  v  ec

M  x, y   x 2  xy  y 2

e ln x 1  v e v  e c

M x, y   x 2  x y   y 2

x 1  v e v  e c
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace



x

 y e

x

 x-y e

y
x

N x, y   x y   2  xy   2 N  x, y 
Ya que son homogéneas y del mismo grado (2)
cualquiera de las sustituciones y=vx ó x=vy son
posibles.

 c2


La solución
c

general

es

Considerando que x=vy y dx=vdy+ydv ...

vy 
v y

2

2 2

5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?



M x, y   2 x 2  xy  y 2  2 M  x, y 

x 1  v e v  c 2
y y

x1  e x  c 2
x 

y

N  x, y    xy

;



 vy  y  y 2 vdy  ydv   vy  ydy  0



 vy 2  y 2 vdy  ydv   vy 2 dy  0

v 3 y 2 dy  v 2 y 3 dv  v 2 y 2 dy  vy 3dv  y 2 vdy  y 3 dv  vy 2 dy  0

v 3 y 2  v 2 y 2  y 2v  vy 2 dy  v 2 y 3  vy 3  y 3 dv  0
v 3 y 2  v 2 y 2 dy  v 2 y 3  vy 3  y 3 dv  0
y 2 v 3  v 2 dy  y 3 v 2  v  1dv  0
ATRÁS

ADELANTE

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COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
Separando variables...
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden

y2
y

3

dy  

AC 1

v2  v 1
3

v v...