Matemáticas ingeniería

Escuela Superior de Ingeniería
Departamento de Matemáticas

18 de Junio de 2010

EXAMEN DE AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

NOMBRE Y APELLIDOS:
Titulación:
Problema 1 [1.5 puntos]
Sea el númerocomplejo
z=

α+i
1 + 2α + i

1. Expresa z en forma binómica.
2. Para α = 0,
a) Calcula el valor principal de ln z
b) Calcula la raíz cuadrada de z, expresando el resultado en forma binómicacon 3 cifras
decimales
Solución:
1.

α+i
(α + i)(1 + 2α − i)
2α2 + α + 1 + i(α + 1)
=
=
1 + 2α + i
(1 + 2α + i)(1 + 2α − i)
(1 + 2α)2 + 1
en forma binómica sería
2α2 + α + 1
α+1
z=
+i(1 + 2α)2 + 1
(1 + 2α)2 + 1

1
 ρ= √


2
1 1
2. Si α = 0, entonces z = + i ⇒

2 2

 θ= π
4
1
π
1
π
ln z = ln √ + i( + 2Kπ) K = 0 ⇒ ln z = ln √ + i
4
4
2
2

1 π

K=0


√ ,
= 0,777 + 0,322i

π


2 8
√
1 π
1 4 + 2Kπ 
⇒
z = (√ , ) =  √ ,
2

2 4
2

1 9π

 K=1
√ ,
= −0,777 − 0,322i

2 8
z=

Problema 2
[1.5 puntos]
Calculalas trayectorias ortogonales a la familia de curvas
x2 + y 2 = 2Cy
Solución:
derivamos respecto de x y eliminamos C en el sistema
x2 + y 2
2x + 2yy

= 2Cy
= 2Cy

⇒y =

2xy
− y2

x2hemos obtenido la EDO de la familia dada. Para obtener la EDO de las trayectorias ortogonales
1
cambiamos y por − , obteniendo
y
y 2 − x2
y =
2xy

Resolviendo esta ecuación obtendremos lastrayectorias ortogonales de la familia dada.
y
Es una EDO homogénea, haciendo el cambio, = u, obtenemos
x
xu + u =

−u2 − 1
u2 − 1
⇒ xu =
2u
2u

separando variables nos queda
2uu
1
=−
2+1u
x
integrando obtenemos
ln(u2 + 1) = − ln |x| + ln C ⇒ u2 + 1 =

C
x

deshaciendo el cambio y simplificando, obtenemos
x2 + y 2 = Cx
Problema 3 [1.5 puntos]
1. Encuentra una función, f (y)con f (0) = 0, para que la ecuación diferencial
f (y)dx + (2y ln y + y − x)dy = 0
sea exacta
2. Encuentra la solución general de dicha ecuación
Solución:
1.


δM

= f (y) 
M (x, y) =...