Matemáticas números reales y geometría analitica

Cálculo

I

semestre I - 2014

TEMA 1
NÚMEROS
REALES Y
GEOMETRÍA
ANALÍTICA

Semestre

I - 2014

www.chilonunellez.blogspot.com

Ing. Jhony Chilón
abril - mayo 2014

INDICE GENERAL
U.S.M.

CÁLCULO I - TEMA 1

Números Reales y
Geometría Analítica
Ing. Jhony Chilón

1.1.

Definiciones básicas

1

1.2.

Línea recta, ángulo de inclinación y pendiente

1

1.3.Formas de la ecuación de una recta

2

1.4.

Posiciones relativas de dos rectas

5

1.5.

Ángulo entre dos rectas

9

1.6.

Distancia de un punto a una recta

9

1.7.

Distancia entre dos rectas paralelas

10

1.8.

Líneas notables de un triángulo

11

1.9.

Área de un triángulo

14

1.10.

Familias de líneas rectas

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DEFINICIONES BÁSICAS
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Números Reales y
Geometría Analítica
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CÁLCULO I - TEMA 1

1.1. DEFINICIONES BÁSICAS
Definición 1. El conjunto de los puntos que satisfagan una ecuación f(x, y) = 0 , se llama
gráfica de la ecuación o, bien, su lugar geométrico.
Definición 2. Una curva es el lugar geométrico de todos aquellos puntos que satisfacen unao más condiciones geométricas dadas.

1.2. LÍNEA RECTA, ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y
PENDIENTE
Definición 3. Una recta es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos
puntos fijos (recta mediatriz del segmento que une los dos puntos).
Definición 4. El ángulo de inclinación (α) de una recta es el ángulo entre la parte positiva
del eje x y la recta, medido en sentidoantihorario. El ángulo de inclinación es tal que
0 ≤ α < π.
Definición 5. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación, denotada
comúnmente por m. Siendo P1(x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dos puntos cualesquiera sobre la recta,
tales que x1 ≠ x2 , entonces

m = tg(α) =

y2 − y1
.
x2 − x1

(1)

De la definición de pendiente se observa que si α = π 2 , m no está definida;este caso
corresponde a x1 = x2 , la recta es vertical. Si m ≥ 0 , entonces 0 ≤ α < π 2 y si m < 0 ,
entonces π 2 < α < π . En todo caso el valor de la pendiente m es independiente de los puntos
que se tomen para calcularla. Esto sugiere la definición:
Definición 6. Una recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos
diferentes cualesquiera P1(x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )del lugar, el valor de la pendiente m calculada
de acuerdo a la fórmula (1) resulta siempre constante.

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FORMAS DE LA
ECUACIÓN DE LA RECTA
U.S.M.

CÁLCULO I - TEMA 1

Números Reales y
Geometría Analítica
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Ing. Jhony Chilón

1.3. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Aunque la ecuación de la recta es única, de acuerdo a los datos que se tengana la
mano, puede adoptar muchas formas, las cuales serán estudiadas a continuación.
Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Sea P(x, y) un
punto cualquiera de la recta, diferente del punto dado P1(x1 , y1 ) . De acuerdo a la definición 1,
las coordenadas del punto P(x, y) satisfacen la ecuación

m=

y − y1
,
x − x1

de la cual se obtiene, inmediatamente,quitando denominadores, la ecuación

y − y1 = m(x − x1 ) .
Se puede resumir lo anterior con el siguiente teorema:
TEOREMA 1. La recta que pasa por el punto dado P1(x1 , y1 ) y tiene la pendiente dada m,
tiene por ecuación

y − y1 = m(x − x1 ) .

(2)

Como la ecuación (2) está dada en función de un punto y la pendiente, se llama, a
veces, de la forma de punto y pendiente.
Ejemplo 1.Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, −1) y tiene un ángulo de
inclinación de 135o .
Solución.
De acuerdo a la definición 5, la pendiente de esta recta es m = tg(135o ) = −1 . Por tanto, por el
teorema 1, la ecuación de la recta es y − (−1) = −1(x − 4) , o sea, x + y − 3 = 0 .
Ecuación de la recta vertical. Una recta es o no paralela al eje Y. Si es paralela al eje Y su...