MATEMÁTICAS



LOS NÚMEROS COMPLEJOS
por Jorge José Osés Recio

Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - 2004

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado se analizó el signo del discriminante y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias ocomplejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.
Sección 1
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto de los númeroscomplejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.
Multiplicación.

En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:Igualdad.
Multiplicación por un escalar. donde .

Ejemplo. Dados y , hallar:
a)
b)
c)

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .




Gráfica 1: Representación del número complejo.


Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :



Para eso escribimos el número real en la forma yaplicamos la definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .



Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .


Forma binómica de un número complejo
Sea un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:



Pero como y , entonces . En este caso se llamaforma binómica o binomia del número complejo.
Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
, puesto que son todos números reales.
porque .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pareso en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si y , halle y .




Conjugado de un número complejo
Si es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria de signoopuesto.

Ejemplo. Si , entonces y si , entonces .
Módulo y argumento de un número complejo
Sea un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por y lo denotaremos por . El módulo se interpreta como la distancia al origen del número (Gráfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo , al ángulo comprendido entre el eje yel radio vector que determina a . El argumento de se denota por y se calcula mediante la expresión:

.




Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.


Propiedad:

Demostración:


División de números complejos
La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:



Ejemplo. Dados y , halle: (a)...