Matemáticas

TEMA 2: Espacios con producto escalar
V e.v. real de dimensión n
Definición: Una aplicación , bilineal simétrica y definida positiva se dice producto escalar en V.
Se denota f(u,v) = u·vDefinición: Un espacio vectorial en el que hay definido un producto escalar se llama euclídeo.
Ejemplo: a)

↓

BILINEAL SIMÉTRICA DEFINIDA POSTIVA
b)

↑producto escalar
V e.v. euclídeo
Definición: dado , llamamos norma de V:

Bases ortonormales. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt
Definición: Una base {v}ni=1 de V se dice ortonormal si enbase ortogonal g
Observación: 1.
Por tanto, la matriz coordenada del producto escalar en una base ortonormal es la identidad.
2.

*
Proposición: Toda familia de vectores ortogonales nonulos es linealmente independiente.
Demostración: Sean los vectores , ortogonales no nulos.
Consideramos

↓

Método de ortogonalización de Gram-Schmidt
Dada una familiade vectores {v1, v2,…, vm}, que generan un cierto subespacio R< v1, v2,…, vm> obtener una familia de vectores ortogonales {w1, w2,…, wm} que generan el mismo subespacio.




Reiteramos el procesoEjemplo: Hallar una familia ortogonal que genera el mismo subespacio que:

↑ ↑ ↑ ↑
v1 v2 v3 v4
Elegimos








Elegimos r= 0



, (el método detecta si la familia inicial no es libre)


Cambio de bases ortonormales
Sea V e.v. euclídeo y bases ortonormales de V, y sea P la matriz de base
↑↑
Columnas llevan las Columnas llevan las coordenadas
coordenadas de wi de vi respecto de la base wi. Q = P
respecto de la base vi


= 1 ↓
AhoraDefinición: una matriz se dice ortogonal si es decir

Proposición:
1.- a) las filas de P son ortonormales respecto del producto escalar ordinario
b) las columnas de P son...