Matemáticas

SMM

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Miscelanea Matematica 33 (2001) 1–19

La aportaci´n de Gauss a la geometr´
o
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hiperb´lica: su carteo con matem´ticos y
o
a
cient´
ıficos de su ´poca
e
Sonia Ursini
Departamento de Matem´tica Educativa
a
Cinvestav, IPN
sursinil@mailer.main.conacyt.mx

Introducci´n.
o
A principios del siglo XIX, despu´s de varios siglos de intentos ine
fructuosos por demostrar el VPostulado de Euclides a partir de los
otros cuatro, se abren paso las primeras ideas acerca de la posibilidad
de desarrollar una geometr´ no-euclidiana, geometr´ que se construye
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negando el V Postulado y considerando v´lida la hip´tesis del ´ngulo
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agudo. La hip´tesis del ´ngulo agudo implica que la suma de los ´ngulos
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internos de un tri´ngulo es menor que dos rectosy que dada una recta
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en el plano y un punto exterior a ella, hay una infinidad de paralelas
por ese punto a la recta dada.
Se suele atribuir la paternidad de estas ideas a tres grandes matem´ticos que las desarrollan de manera casi contempor´nea y, al paa
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recer, independiente.
En 1826 Nikolai Ivanovich Lobachevski expone ante los miembros de
la Facultad de F´
ısico-Matem´tica de laUniversidad de Kazan, sus ideas
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acerca de una nueva geometr´ El manuscrito, titulado Exposition sucıa.
cincte des principes de la G´om`trie avec une demonstration rigoureuse
e e
du theor`me des parall`les, fue entregado a una comisi´n de profesores
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de la misma Universidad y al parecer se extravi´ (Lombardo-Radice,
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1974). Entre 1829 y 1830 Lobachevski publica en el peri´dicoKazanso
ki Vestnik algunos art´
ıculos bajo el t´
ıtulo Acerca de los fundamentos
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Sonia Ursini

de la geometr´ Estos art´
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ıculos constituyen la primera obra publicada
que se conozca, acerca de la geometr´ no-euclidiana. En 1835 publica
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la Geometr´ Imaginaria. M´s adelante, entre 1835 y 1838 publica por
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partes los Nuevos Principios de la Geometr´ con una Teor´Completa
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de las Paralelas donde se incluye el desarrollo completo de la que hab´
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denominado Geometr´ Imaginaria.
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Por otro lado, en 1832 el matem´tico h´ ngaro Wolfgang Bolyai pua
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blica dos vol´ menes de matem´ticas elementales titulados Tentamen.
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En ellos re´ ne sus ideas acerca de los principios de la matem´tica e
u
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incluye, como un ap´ndice al primer volumen, unanueva teor´ sobre
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el espacio desarrollada por su hijo, Janos Bolyai (1802-1866). En este ap´ndice, titulado La ciencia absoluta del espacio, Janos Bolyai da
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una definici´n de rectas paralelas y sus propiedades, y a partir de ello
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desarrolla una geometr´ no-euclidiana. Janos Bolyai define las paraıa
lelas diciendo “Si el rayo AM no es cortado por el rayo BN situado
en el mismo plano,pero es cortado por todo rayo BP comprendido en
el ´ngulo ABN, diremos que al rayo BN es paralelo al rayo AM ...”
a
(Bolyai J., 1832, p. 5).
El otro gran matem´tico al que se suele considerar entre los iniciadoa
res de la geometr´ no-euclidiana es Karl Friedrich Gauss (1777–1855).
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A diferencia de N.I. Lobachevski y J. Bolyai, Gauss no dej´ publicaci´n
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alguna que nos permitaapreciar sus aportaciones a la nueva geometr´
ıa.
La unica informaci´n que se tiene al respecto se encuentra en las cartas
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que intercambi´ a lo largo de m´s de tres d´cadas con algunos colegas y
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amigos. En ´stas discute sus ideas acerca de la posibilidad de desarroe
llar una geometr´ distinta a la geometr´ euclidiana y presenta algunos
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avances. Sin embargo, no deja dedespertar cierta curiosidad el hecho de
que no existan publicaciones de Gauss sobre geometr´ no-euclidiana,
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sobre todo cuando recordamos que este tema le interes´ profundamente
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y trabaj´ sobre ´l a lo largo de 30 ´ 35 a˜ os de su vida, como ´l mismo
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lo comenta en una carta dirigida a su amigo Wolfgang Bolyai en 1832.
Para satisfacer esta curiosidad ser´ quiz´s necesario...