Matemáticas

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Sea A una matriz cuadrada de orden n y denotamos por det(A) o por |A| su determinante, entonces se verifican las siguientes propiedades: 1.Si una fila (o columna) de A se descompone en suma de dos, el determinante de la matriz A se puede descomponer en suma de dos determinantes con arreglo a lo siguiente: a11 a12 a21a22 . . . . . . ai1 ai2 . . . . . . an1 an2 a13 . . . a23 . . . . .. . . . ai3 . . . . .. . . . an3 . . . a1n a2n . . . ain . . . ann a11 a12 a13 a21 a22 a23 . . . . . . . . .bi1 bi2 bi3 . . . . . . . . . an1 an2 an3 . . . a1n . . . a2n ... . . . . . . bin ... . . . . . . ann a11 a12 a13 a21 a22 a23 . . . . . . . . . + ci1 ci2 ci3 . . . . . . . . .an1 an2 an3 . . . a1n . . . a2n ... . . . . . . cin ... . . . . . . ann

=

donde ai1 = bi1 + ci1 , ai2 = bi2 + ci2 , ai3 = bi3 + ci3 , . . . , ain = bin + cin . 2. Si semultiplica una fila (o columna) de la matriz A por una constante c, el det(A) queda multiplicado por ese n´mero c. u 3. Si se intercambian dos filas (o columnas) de la matriz A, eldet(A) cambia de signo. 4. Si denotamos la traspuesta de la matriz A por At : det(At ) = det(A). 5. Sea B una matriz cuadrada de orden n, det(A · B) = det(A) · det(B). 6. Si enuna fila (o columna) de la matriz A todos sus coeficientes son iguales a cero, entonces det(A) = 0. 7. Si una fila (o columna) de la matriz A es m´ltiplo de otra, entonces det(A) =0. u 8. Si a una fila (o columna) de la matriz A se le suma un m´ltiplo de otra, el det(A) no var´ u ıa. 9. Si una fila (o columna) de la matriz A es suma de m´ltiplos de otras,entonces det(A) = 0. u 10. Si c es una constante se tiene det(cA) = cn · det(A). 11. A es una matriz invertible ⇔ det(A) = 0, y adem´s, se verifica: a det(A−1 ) = 1 . det(A)