Matem Tica Cursillo M Dulo 4

Módulo 4
Ecuaciones

4.1 Introducción
Una de las herramientas más poderosas de la Matemática son las
ecuaciones; ellas nos trasladan de una realidad concreta a un mundo de
simbolismo. Cuanto más seguros manejemos ese mundo de símbolos más
útil nos resultará como aplicación a la realidad concreta. Utilizaremos las
propiedades de los números reales, el concepto de función y expresaremos
conjuntoscomo solución de las ecuaciones. Su concepto es simple pero la
destreza en resolverlas es clave para completar la aprehensión de ellas.
“Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta
sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud
ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió
con el primer vello. Pasó aún una séptima partede su vida antes de tomar
esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez
alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte
desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro
años.
De todo esto, deduce su edad. (En:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html
Última visita 06/01/2014)
(Encontrarás esta información dentrode la carpeta Anexo Videos de este
módulo)

Antes de presentar la definición de ecuación, resolvamos este desafío para
ver en qué nos pueden ayudar las ecuaciones para simplificar esfuerzo.

1

Identifica el área del triángulo obtenido de la intersección de las rectas
y=

2
x3 ,
3

y= 

2
x3 ,
3

y=0

Para hallar las coordenadas del punto A sólo necesitamos usar el
concepto de ordenada alorigen visto en el módulo 3.

¿Cómo hacemos para reconocer las coordenadas de los
puntos B y C (sin mirar la gráfica)?

2

4.2 Ecuaciones lineales
Antes de definir qué es una ecuación lineal aclaremos algunos
conceptos previos necesarios.

Igualdad numérica

1
21

2
2 - 4  25  2
1
(7-3) – 1= 4

Igualdad algebraica

a(b+c)= ab +ac
x 2 – 4= 0

ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dosexpresiones algebraicas.
Las letras de las expresiones algebraicas son llamadas variables.
Si sustituimos las letras por valores numéricos puede
transformar o no en una igualdad numérica

Ejemplo

3

Incógnita

x 2  1  2x  3

Primer
miembro

Segundo
miembro

Las variables que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas y los
miembros de la ecuación son las dos expresiones algebraicas que la
definen.IDENTIDAD ALGEBRAICA
Una identidad algebraica es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas que es verificada por cualquier valor que asuman sus
variables.
Ejemplo
Todos los números reales verifican:

(x+y) 2 = x2 + 2xy + y2

Incógnitas

Esta identidad es conocida como la fórmula del cuadrado del binomio.

4

Resolver una ecuación consiste en hallar todos los valores de la
incógnita queproducen una igualdad numérica entre los dos
miembros de la ecuación. Estos valores se llaman solución de la
ecuación.
Ecuaciones equivalentes: Se dice que dos ecuaciones son equivalentes
cuando tienen las mismas soluciones.

Ecuación lineal con una
incógnita
Una ecuación lineal con una incógnita es una ecuación de la
forma:
ax + b =0
a y b números reales
También se reconoce a una ecuación lineal conuna incógnita
cuando la expresión algebraica es entera con una incógnita de
exponente 1.
Recordemos que una expresión algebraica entera es una expresión
matemática donde aparece letras y números junto a las operaciones
suma, resta, multiplicación y potenciación

Ejemplos:

5x-3=0

Es una ecuación lineal con incógnita
x

3a+2= 5 a -2

Es una ecuación lineal con incógnita
a

1
0
x 1

No es unaecuación lineal porque
aparece una división

5

x 2  3x  2  0

No es una ecuación lineal porque la
incógnita aparece con exponente 2

Resolución de las ecuaciones lineales
Para resolver una ecuación lineal se utiliza la propiedad uniforme de
los números reales que dice:
a=b  a+c= b+c  c  R
a=b  a.c =b.c  c  R c  0
Esta propiedad nos dice que cuando tenemos una igualdad si
sumamos...