MATEM TICAS II

MATEMÁTICAS II
M.P.S. MANUEL GERARDO ZULAICA MENDOZA

GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar
puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en
que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la
distancia entre ellos.Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de
la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .

GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobreel eje y (de las ordenadas) o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de
la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
(1)
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el
sistema decoordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y

GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =

está dada por:

GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIAENTRE DOS PUNTOS
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el
segmento de recta P1 P2

GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al
eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo
rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema dePitágoras.
En la fórmula (1) se observa que
la distancia entre dos puntos es
siempre un valor positivo.
El orden en el cual se restan las
coordenadas de los puntos P1 y
P2 no afecta el valor de la
luego
distancia.

GEOMETRÍA ANALÍTICA
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE
RECTA

El punto medio de un segmento de recta es el punto que se encuentra localizado
exactamente a la mitad de dospuntos. Se trata del promedio de ambos puntos, el cual
es el promedio de las dos coordenadas x y de las dos coordenadas y.

GEOMETRÍA ANALÍTICA
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE
RECTA

Conoce la fórmula del punto medio. La fórmula del punto medio puede utilizarse al
sumar las coordenadas x de los dos puntos extremos y dividiendo el resultado entre dos
y luego haciendo lo mismo con lascoordenadas y. Así es como se encuentra el
promedio de las coordenadas x y y de los endpoints. Ésta es la fórmula: [(x 1 + x2)/2,
(y1 + y2)/2]

GEOMETRÍA ANALÍTICA
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE
RECTA

Localiza las coordenadas de los puntos extremos. No puedas utilizar la fórmula del
punto medio sin conocer las coordenadas x y y de los puntos extremos. Para este
ejemplo queremosencontrar el punto medio, punto O, el cual se encuentra en medio de
los dos puntos extremos M (5,4) y N (3,-4). Tenemos que (x 1, y1) = (5, 4) y
(x2, y2) = (3, -4).
Observa que cualquiera de los dos pares de coordenadas puede servir como (x 1, y1) o
como (x2, y2) . Ya que solo estarás sumando y dividiendo entre dos, no importa cuál par
coloques primero.

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COORDENADAS DEL PUNTOMEDIO DE UN SEGMENTO DE
RECTA

Introduce las coordenadas correspondientes en la fórmula. Ahora que conoces las
coordenadas de los puntos extremos, puedes colocarlos en la fórmula. Así es como se
hace:

GEOMETRÍA ANALÍTICA
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE
RECTA
Resuelve. Una vez que hayas introducido las coordenadas en la fórmula, todo lo que
debes hacer es una operación aritmética...