Matem Ticas

MATEMÁTICAS 

 

 
 
 
 
 

     Nivel Medio 

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 La carpeta ­ tareas 

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 Para utilizar en 2012 y 2013 

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Fracciones de Lacsap 
 Objetivo: En esta tarea se considerará un conjunto de números presentados en un 
patrón simétrico. 
Considere las cinco filas de números que se muestran a continuación. 
Describa cómo hallar el numerador de la sexta fila. 
Utilice algún medio tecnológico para graficar la relación entre el número de fila, n, y el 
numerador 
de cada fila. Describa lo que observa a partir de su gráfica y escriba una proposición 
general que 
represente lo observado. Halle la sexta y la séptima fila. Describa los patrones que haya utilizado. 
Sea En (r) el elemento (r +1) ­ésimo de la fila enésima, comenzando con r=0 . 
Halle la proposición general: 
Compruebe la validez de la proposición general, hallando filas adicionales. 
Discuta el alcance y/o las limitaciones de la proposición general. 
Explique cómo obtuvo su proposición general. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Solución:  
 Las cinco primeras filas tienen diferentes numeradores que muestra un 
patrón que cada vez va aumentando de manera exponencial. Al comparar 
la primera fila con la segunda fila, pude notar que el numerador aumento 2, 
luego al comparar la segunda fila con la tercera, pude notar que el 
numerador aumento 3, de la tercera a la cuarta, aumento 4 y así sucesivamente de manera progresiva. Ya no tuve que sacar los siguientes 
numeradores, utilice un modelo matemático para esta sucesión, sabiendo 
que el numerador es igual al numerador anterior+número de fila(n). Para 
no estar calculando fila por fila para encontrar el siguiente numerador, 
utilice el modelo matemático y=x(x+1)/2, donde y es el numerador de la fila 
x, hablando en términos de x y y para poder ponerlos en un plano 
cartesiano. 
 
  

fila(n) (variable independiente) 

numerador (variable dependiente) 

1 

1(1+1)/2=1 

2 

2(2+1)/2=3 

3 

3(3+1)/2=6 

4 

4(4+1)/2=10 

5 

5(5+1)/2=15 

6 

6(6+1)/2=21 

7 

7(7+1)/2=28 

8 

8(8+1)/2=36 

9 

9(9+1)/2=45 

10 

10(10+1)/2=55 

 

 

Relación gráfica entre numerador y fila: 
Para encontrar una función que satisfaga mi ecuación y=x(x+1)/2, utilice un programa llamado “Geogebra” , con este programa, pude crear 
una lista de puntos, dada anteriormente. Al crear la lista de puntos, 
geogebra se encargó de mostrar la imagen de la función que muestra la 
relación entre el numerador y el número de fila en que se encuentra, al 
final salió una gráfica exponencial que muestra que el número de fila es 
directamente proporcional al numerador, en otras palabras, mientras mayor sea la fila, el numerador tendrá una tendencia hacia el eje y y x 
positivo. 
 

Hallar la sexta y séptima fila, describiendo patrones: 
Para hallar la sexta y séptima fila, tuve que encontrar una fórmula para el 
denominador. Para probar la fórmula de denominador, utilice la razón, 
porque el denominador siempre varia, pero no hay patrón de derecha a izquierda o izquierda a derecha. Por esa razón relacione la posición con el 
número de fila, y para lograrlo, utilice la fórmula anterior para el 
numerador, y=x(x+1)/2, pero cambiando el 1 por r, que es la posición del 
término para En(r). Entonces queda y=x(x+r)/2, donde y es el 
denominador, x la fila y r la posición. Probaré en la cuarta fila, porque es la 
primera en la que hay un cambio de denominador. Entonces usando la fórmula queda 6=4(4+2)/2, 6=8. Como no da igualdad, cambiaré el signo + 
por ­, por lo que sale 6=4(4­2)/2, 6=4. Como tampoco hay igualdad, quitaré 
la división, porque ya cambie el signo, 6=4(4­2), 6=8, el primer resultado 
pero restando. Todavía no hay cambio, entonces intercambiaré las 
variables fila y razón, quedando 6=2(4­2), 6=4. Al ver el numerador, que no ...