Matemagica
Páginas: 8 (1815 palabras)
Publicado: 9 de octubre de 2011
Jornadas de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana
Matemagia: la magia de las matemáticas
Francisco González
La ponencia pretende trabajar la parte lúdica de las matemáticas, aplicando fundamentos matemáticos para la elaboración de efectos mágicos. En ella se encadenarán la realización de trucos matemáticos con la explicación de los apoyos matemáticos en que se basan y otrosefectos mágicos ‘pseudomatemáticos’ o genéricos, destinados a dinamizar la actividad y crear un ambiente distendido y simpático. Esta actividad se ha realizado ya en la UJI de Castellón y su valoración puede verse en la siguiente dirección: http://radon.act.uji.es/~mat2000/matemagia.html . También se ha realizado con motivo de fase final de las Olimpiadas matemáticas, realizada en Castellón. Acontinuación se reproducen algunas de las transparencias que se usan en las explicaciones de los efectos realizados: Cálculo de la raíz cúbica mentalmente Efecto: El mago realiza de cabeza la raíz cúbica de un cubo perfecto. Explicación:
(ab )3
= (10 • a + b ) == 1000 • a 3 + 300 • a 2 • b + 30 • a • b 2 + b 3
3
De esta igualdad podemos extraer la primera conclusión: 3 El último dígito sólodepende de las unidades de b ya que los demás sumandos están multiplicados por potencias de 10 y sus últimas cifras serían ceros. Ahora bien, existe una biyección entre los dígitos del 0 al 9 y las unidades 3 3 3 de b , por lo tanto: 0 = 0 si termina en cero b es un cero. 1 = 1 si termina en uno 3 3 b es uno. 2 = 8 si termina en ocho b es un dos. 3 = 27 si termina en siete b es 3 3 un tres. 4 = 64 sitermina en cuatro b es un cuatro. 5 = 125 si termina en cinco
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González, F. Matemagia. La magia de las matemáticas
b es un cinco. 6 = 216 si termina en seis b es un seis. 7 = 343 si termina en 3 3 tres b es un siete. 8 = 512 si termina en dos b es un ocho. 9 = 729 si termina en nueve b es un nueve Nota: Sólo cambian el 2 con el 8 y el 3 con el 7. Esta tabla hay que recordarla. Veamosque:
3
3
300 • a 2 • b + 30 • a • b 2 + b 3 < (a + 1) − a 3 • 1000
3
[
]
como b < 10 tenemos que:
300 • a 2 • b < 300 • a 2 • 10 = 3000 • a 2 30 • a • b 2 < 30 • a • 100 = 3000 • a b3 < 1000
sumando las tres desigualdades tenemos que:
300 • a 2 • b + 30 • a • b 2 + b 3 < 3 • a 2 + 3 • a + 1 • 1000 =
0 < 300 • a • b + 30 • a • b 2 + b 3 < (a + 1) − a 3 • 1000
2 3
=(a + 1) − a 3 • 1000
3
(
)
(
)
(
)
sumando a todos lo miembros de la desigualdad 1000a
3
a 3 • 1000 < (ab ) <
3
a 3 • 1000 < a 3 • 1000 + 300 • a 2 • b + 30 • a • b 2 + b 3 <
((a + 1) )• 1000
3
((a + 1) )• 1000
3
y dividendo por 1000 (ab )3 < (a + 1 )3 a3 < 1000 De esta ultima desigualdad se deduce que: Quitando las tres últimas cifras las restantes debenestar comprendidas entre:
a3 y
(a + 1)3
de donde puede deducirse el valor de a sin más que recordar la tabla de los cubos anteriormente citada. Un número mágico Efecto: El mago consigue adivinar un número de tres cifras después de realizar tres divisiones exactas. Desarrollo: Piensa un número de tres cifras y no hagas como el otro día que pensaron el cero cientos veintitrés. ¡NO! el cerocientos veintitrés es un número de dos cifras. (es que hay mucha gente que ha estudiado con Barrio Sésamo). Estarás de acuerdo conmigo que no puedo tener ni idea del número que has elegido, pero para complicarlo aún más, lo haremos de 6 cifras volviendo a escribir detrás el mismo número. ( Si habías pensado el 123 tendrás ahora el 123123). Si desde la distancia he podido influir en tuimaginación, tienes en tus manos un número mágico, uno de los pocos que existen. Para no decir mentiras, sólo uno de cada 13 es como el tuyo. Números pares hay muchos 1 de cada 2, múltiplos de 3, uno de cada 3, pero que sean divisibles por trece, número primo y mágico, sólo
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se encuentra en la proporción dicha. Y tu al azar... eliges...
Matemagia: la magia de las matemáticas
Francisco González
La ponencia pretende trabajar la parte lúdica de las matemáticas, aplicando fundamentos matemáticos para la elaboración de efectos mágicos. En ella se encadenarán la realización de trucos matemáticos con la explicación de los apoyos matemáticos en que se basan y otrosefectos mágicos ‘pseudomatemáticos’ o genéricos, destinados a dinamizar la actividad y crear un ambiente distendido y simpático. Esta actividad se ha realizado ya en la UJI de Castellón y su valoración puede verse en la siguiente dirección: http://radon.act.uji.es/~mat2000/matemagia.html . También se ha realizado con motivo de fase final de las Olimpiadas matemáticas, realizada en Castellón. Acontinuación se reproducen algunas de las transparencias que se usan en las explicaciones de los efectos realizados: Cálculo de la raíz cúbica mentalmente Efecto: El mago realiza de cabeza la raíz cúbica de un cubo perfecto. Explicación:
(ab )3
= (10 • a + b ) == 1000 • a 3 + 300 • a 2 • b + 30 • a • b 2 + b 3
3
De esta igualdad podemos extraer la primera conclusión: 3 El último dígito sólodepende de las unidades de b ya que los demás sumandos están multiplicados por potencias de 10 y sus últimas cifras serían ceros. Ahora bien, existe una biyección entre los dígitos del 0 al 9 y las unidades 3 3 3 de b , por lo tanto: 0 = 0 si termina en cero b es un cero. 1 = 1 si termina en uno 3 3 b es uno. 2 = 8 si termina en ocho b es un dos. 3 = 27 si termina en siete b es 3 3 un tres. 4 = 64 sitermina en cuatro b es un cuatro. 5 = 125 si termina en cinco
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b es un cinco. 6 = 216 si termina en seis b es un seis. 7 = 343 si termina en 3 3 tres b es un siete. 8 = 512 si termina en dos b es un ocho. 9 = 729 si termina en nueve b es un nueve Nota: Sólo cambian el 2 con el 8 y el 3 con el 7. Esta tabla hay que recordarla. Veamosque:
3
3
300 • a 2 • b + 30 • a • b 2 + b 3 < (a + 1) − a 3 • 1000
3
[
]
como b < 10 tenemos que:
300 • a 2 • b < 300 • a 2 • 10 = 3000 • a 2 30 • a • b 2 < 30 • a • 100 = 3000 • a b3 < 1000
sumando las tres desigualdades tenemos que:
300 • a 2 • b + 30 • a • b 2 + b 3 < 3 • a 2 + 3 • a + 1 • 1000 =
0 < 300 • a • b + 30 • a • b 2 + b 3 < (a + 1) − a 3 • 1000
2 3
=(a + 1) − a 3 • 1000
3
(
)
(
)
(
)
sumando a todos lo miembros de la desigualdad 1000a
3
a 3 • 1000 < (ab ) <
3
a 3 • 1000 < a 3 • 1000 + 300 • a 2 • b + 30 • a • b 2 + b 3 <
((a + 1) )• 1000
3
((a + 1) )• 1000
3
y dividendo por 1000 (ab )3 < (a + 1 )3 a3 < 1000 De esta ultima desigualdad se deduce que: Quitando las tres últimas cifras las restantes debenestar comprendidas entre:
a3 y
(a + 1)3
de donde puede deducirse el valor de a sin más que recordar la tabla de los cubos anteriormente citada. Un número mágico Efecto: El mago consigue adivinar un número de tres cifras después de realizar tres divisiones exactas. Desarrollo: Piensa un número de tres cifras y no hagas como el otro día que pensaron el cero cientos veintitrés. ¡NO! el cerocientos veintitrés es un número de dos cifras. (es que hay mucha gente que ha estudiado con Barrio Sésamo). Estarás de acuerdo conmigo que no puedo tener ni idea del número que has elegido, pero para complicarlo aún más, lo haremos de 6 cifras volviendo a escribir detrás el mismo número. ( Si habías pensado el 123 tendrás ahora el 123123). Si desde la distancia he podido influir en tuimaginación, tienes en tus manos un número mágico, uno de los pocos que existen. Para no decir mentiras, sólo uno de cada 13 es como el tuyo. Números pares hay muchos 1 de cada 2, múltiplos de 3, uno de cada 3, pero que sean divisibles por trece, número primo y mágico, sólo
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