Matemaric

´ Universidad Tecnica Federico Santa Mar´a ı
´ Departamento de Matematica

Coordinacion de Matem´ tica II (MAT022) ´ a
Gu´a de ejercicios ı Operaciones con matrices

     1 0 −1 1 2 1 1.Considere A =  1 0 1  , B =  0 3  y C =  −1  calcular los siguientes 2 3 2 5 6 0 productos cuando sea posible (si no se puede justificar) (a) (g) AB CT C (b) BA (h) CC T (c) CB (i) BB T (d) (j) CTB BB T (e) A2 (k) C T AC (f) B 2



2. Si A y B son matrices de orden m × n y Ax = Bx para todo vector columna x ∈ Mn×1 entonces A = B. 3. Considere la matriz A= calcular An para todo n ∈ N. 4.Suponga que A es de 3 × 5, que B es de 5 × 3, C es de 5 × 1 y D es de orden 3 × 1. Indique cuales de las siguientes operaciones est´ n bien definidas y cual es el orden de a la matriz resultante cuandoesta existe: a) BA b) ABD c) A (B + C) d) AC + BD e) ABABD 5. Verdadero o Falso (si es falso dar un contraejemplo) a) Si A2 est´ definido entonces A es cuadrada a b) Si AB y BA est´ n definidasentonces A y B son cuadradas. a c) Si AB y BA est´ n definidas entonces AB y BA son cuadradas. a d) (AB)2 = A2 B 2 . 6. Si A = (aij )n×n = (i + j)n×n y B = (bij )n×n = (i − j)n×n calcular el t´ rmino generalde e AB y BA. 7. Encontrar An para las matrices A1 = a b 0 a y A2 = c c 0 0 0 −1 1 0

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8. Suponga que la matrizcuadrada A conmuta con todas las matrices de su mismo orden ¿Qu´ puede decir de ella? Intentar primero con matrices de orden 2 × 2 utilizando e matrices especiales, por ejemplo M1 = 1 0 0 0 y M2 = 0 0 01

y calculando AM1 = M1 A ver que implica en los elementos de A, lo mismo para M2 . 9. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Muestre que tr (A + B) = tr (A) + tr (B) y tr (AB) = tr (BA). 10.Sabemos que en las matrices el producto no es conmutativo, ¿Ser´ posible resolver la a ´ ecuacion AX − XA = I donde A es una matriz dada? Ind.: Utilizar traza. 11. Muestre que es posible tener A2 =...