matemarica
f’(x)>0
f’(x) 0.
Elementos que conforman el entorno; centro “a” y radio o extensión “ δ ”
Notación: El entorno se nota con una letra N mayúscula y a continuación
se coloca el centro y el radio tal como sigue: N (a; δ ) ó también N δ (a )
Grafica: Ejemplo de una grafica para un entorno de centro 4 y radio 3
δ
Ι
0
(
1
Ι
2
Ι
3
Ι
4
a
Ι
5
Ι
6
)
7Ι
8
Ι
9
ℜ
Definición formal: La definición formal para un entorno de centro “a” y
radio δ es como sigue:
N (a; δ ) = {x / x ∈ ℜ ∧ x − a < δ }
Ejemplo:
1.- Defina y grafique un entorno de centro 1 que contenga al siguiente
conjunto:
{
}
C = x / x ∈ℜ ∧ x3 − x = 0
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Guia de Estudio. Matematica I. Faces U.C [R-5]
Prof. Magdiel Acosta Noy
Solución:
El primerpaso es determinar quien es el conjunto “C”, tenemos:
x3 − x = 0
( x) = 0
( x)( x 2 − 1) = 0
{
( x 2 − 1) = 0
x 2 = 1 x = ±1
}
Por lo tanto C= − 1 ; 0 ; 1 . Ahora bien, dado que el centro se indica que
esta en el valor 1, determinamos cual de los elementos de C está mas
alejado de dicho valor, es el -1, y está a 2 unidades, por lo tanto δ deberá
ser mayor a 2 unidadespara contener a todo el conjunto C. Supongamos
entonces que fijamos un δ igual a 3. Entonces, la definición formal de
nuestro entorno N (1 ; 3) será como sigue (sustituyendo en la definición
formal los parámetros centro y radio):
N (1 ; 3) = {x / x ∈ ℜ ∧ x − 1 < 3}
Y la grafica de nuestro N (1;3) será:
Ι
-3
(
-2
Ι
-1
Ι
0
Ι
1
a
Ι
2
Ι
3
)
4
Ι
5
Ι
6
ℜEntorno Reducido:
Es un intervalo abierto de centro “a” y radio δ , donde δ > 0, y donde el
centro se excluye del entorno.
Elementos que conforman el entorno reducido;
extensión “ δ ”
centro “a” y radio o
Notación: El entorno reducido se nota con una letra N* (mayúscula con
asterisco) y a continuación se coloca el centro y el radio tal como sigue: N*
(a; δ ) ó también N *δ (a)
8Guia de Estudio. Matematica I. Faces U.C [R-5]
Prof. Magdiel Acosta Noy
Grafica:
Ejemplo de una grafica para un N* de centro 4 y radio 3 (Note
que el centro 4, está excluido del intervalo abierto)
δ
Ι
0
(
1
Ι
2
)Ι(
Ι
3
4
a
Ι
5
Ι
6
)
7
Ι
8
Ι
9
ℜ
Definición formal: La definición formal para un entorno reducido de centro
“a” y radio δes como sigue:
N * (a;δ ) = {x / x ∈ ℜ ∧ 0 < x − a < δ }
Ejemplo:
2.- Defina y grafique un N * (a ; 4) que contenga al siguiente conjunto:
{
}
C = x / x ∈ ℜ ∧ x 2 −1 < 0
Solución:
El primer paso es determinar quien es el conjunto “C”, tenemos:
x 2 −1 < 0
es una inecuación cuya solución es el intervalo abierto (-1; 1)
Por lo tanto C= (-1; 1).
Ahora bien, dado que elenunciado indica que el
radio deber ser 4 determinamos donde fijar el centro “a”, recordando que
en el N* este está excluido del entorno. Fijamos el centro en
2 y así,
puesto que el radio es de 4 unidades, contendrá a todo el conjunto C.
Entonces, la definición formal de nuestro entorno N * (2 ; 4) será como
sigue (sustituyendo en la definición formal los parámetros centro y radio):
N *(2 ; 4) = {x / x ∈ ℜ ∧ 0 < x − 2 < 4}
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Guia de Estudio. Matematica I. Faces U.C [R-5]
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Y la grafica de nuestro N * (2 ; 4) será:
Ι
-3
(
-2
Ι
-1
Ι
0
)Ι(
Ι
1
Ι
3
2
a
Ι
4
)
Ι
5
6
Ι
7
Punto de acumulación:
Se dice que un valor x 0 es punto de acumulación de un conjunto C, si y
solo si para todo entorno reducido decentro x 0 , existe por lo menos un
elemento que simultáneamente pertenezca al entorno reducido y al
conjunto C.
x 0 es punto de acumulación de C ⇔ ∀N * ( x 0 ; δ ); ∃x / x ∈ N * ∧ C
Ejemplos gráficos:
En los ejemplos 1 a 4, el valor x 0 es punto de acumulación del conjunto C
resaltado. En los ejemplos
5 y 6, x 0 no es punto de acumulación del
conjunto C.
1.
“C"
(
Ι...
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