matematiac

Ejercicios para el curso MA–1003: C´ lculo III
a
Tomados de los ex´ menes de la C´ tedra∗
a
a

1

Superficies en el espacio R3

1.1. Hallar la ecuaci´ n del cilindro cuya directriz es la curva de intersecci´ n de las superficies
o
o
2 + y2 = 1 y z = x y cuyas generatrices son paralelas al vector (9, 1, −15).
x
1.2. Obtener la ecuaci´ n de un cilindro cuya directriz est´ dada por lacurva
o
a
x2 + y2 + 2z2 = 8,
x − y + 2z = 0,
y cuyas generatrices son paralelas a la recta (x, y, z) = (−3, 1, 5) + t(2, 1, −4), t ∈ R.
1.3. Calcular la ecuaci´ n del cilindro el´ptico que tiene por directriz la elipse
o
ı
x2 y2
+ = 1,
9
4

z=0

y por generatrices rectas paralelas a la recta de intersecci´ n de los planos 9x + y + 4z = 14 y
o
x + y + z = 3.
1.4. Encontrar laecuaci´ n del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta
o
2x + y + z − 6 = 0,

x + y = 0,

y cuya directriz es la intersecci´ n de la esfera de radio 1 centrada en el punto (1, 0, 1) con el
o
plano x − y = 2.
1.5. Hallar la ecuaci´ n del cilindro cuya directriz es la elipse de ecuaciones param´ tricas
o
e
x = cos θ ,

y = sen θ ,

z = cos θ + sen θ

y cuyas generatricesson perpendiculares al plano que contiene dicha elipse.
1.6. Calcular la ecuaci´ n de la superficie c´ nica que tiene por v´ rtice el punto (0, 2, 3) y cuya
o
o
e
2 + y2 = 16, x + y + z = 0.
directriz es la elipse x
1.7. Calcular la ecuaci´ n del cono que tiene por v´ rtice el punto (−4, 2, 3) y cuya directriz es
o
e
la curva de intersecci´ n de las superficies
o
x2 y2
+
= 1,
9 16
∗Recopilado

3x + 2y − z = 0.

por el Prof. Marco Alfaro C. y reeditado por Joseph C. V´ rilly en el II Ciclo del 2009
a

1

Ejercicios para MA–1003: C´ lculo III
a

2

1.8. Calcular la ecuaci´ n de la superficie c´ nica que tiene por v´ rtice el punto (0, 2, 3) y cuya
o
o
e
directriz es la curva de intersecci´ n del hiperboloide de una hoja x2 + y2 − 4z2 = 16 con el
o
plano x − y+ z = 0.
1.9. Encontrar la ecuaci´ n del cono cuyo v´ rtice se encuentra en el centro del elipsoide
o
e
x2 y2 z2
+ + =1
9
3
4
y cuya directriz es la elipse
x2 y2 z2
+ + = 1,
9
3
4

x + y + z = 1.

1.10. Hallar la ecuaci´ n del cono cuyo v´ rtice es el centro de la superficie 2x2 + y2 + z2 = 12
o
e
y que tiene por directriz la curva de intersecci´ n de esta superficie con elplano x + y + z = 3.
o
1.11. Encontrar la ecuaci´ n del cono que cuyo v´ rtice es el centro de la superficie cuadr´ tica
o
e
a
x2 − y2 + 4x + 6y + z2 = 10 y cuya directriz es el c´rculo x2 + y2 + z2 = 9, x + y + z = 0.
ı
1.12. Calcular la ecuaci´ n de la superficie c´ nica que tiene por v´ rtice el punto (0, 0, 0) y
o
o
e
cuya directriz es la curva alabeada
r(t) = 3 cost i + 4 sent j + tgtk
1.13.

−

π
π
0,

en el punto P = (x0 , y0 , z0 ) de la superficie, es: A(x0 )x + B(y0 )y +C(z0 )z = D.
4.4. La altura h de un monte se describe aproximadamente mediante la funci´ n
o
√
√
√
h(x, y) = 2 2 − 0,0002 2 y2 − 0,0004 2 x2 ,
donde h es la altura en kil´ metros sobre el nivel del mar mientras x e y miden las coordenadas
o
este-oeste y norte-sur respectivamente. Para elpunto (x, y) = (−2, −4), encontrar:
(a) ¿Con qu´ rapidez se incrementa la altura en la direcci´ n noreste?
e
o
(b) ¿En qu´ direcci´ n va la trayectoria m´ s empinada hacia arriba?
e
o
a
√
√
√
(c) Si T (x, y, z) = 2 2 − 0,0002 2 y2 − 0,0004 √x2 − z representa la temperatura en la
2
a
monta˜ a, calcular en el punto (−2, −4, 1,9952 2) el cambio m´ ximo de temperatura.
n
¿En qu´direcci´ n ocurre?
e
o
4.5. Hallar la derivada direccional de la funci´ n z = x3 − 2x2 y + xy2 + 1 en el punto (1, 2, 2)
o
y en la direcci´ n del vector 3 i + 4 j. Calcular tambi´ n el vector tangente a la curva de intero
e
secci´ n de esa superficie con el plano 3y − 4x = 0.
o
4.6.

(a) Calcular la derivada direccional de la funci´ n f (x, y) = x2 + xy + y2 en el punto
o
(1, 1) y en la...