Matematica 004 Logica matematica

Programa Académico Preparatorio
PAP

Escuela de Formación de Profesores de
Enseñanza Media

Curso de Matemáticas

“Lógica Matemática”

Profesor Pedro Comelli

Lógica Matemática
La lógica es el estudio del razonamiento; “estudia los métodos, procedimientos y
técnicas que nos permiten distinguir el razonamiento correcto del incorrecto”

El Cálculo Proposicional, se aplica en expresiones que puedense verdaderas o
falsas, y resulta útil para muchas aplicaciones en computación, entre las que
podemos citar, análisis de circuitos, análisis y confiabilidad de sistemas mediante
árboles lógicos, diversas aplicaciones de solución a problemas de planeación, etc.

En la vida diaria, podemos resolver determinados problemas usando simplemente
lógica (razonamiento). Tratemos de resolver los siguientesejemplos:
1) Ana, Beatriz y Carmen son deportistas. Una es tenista, otra gimnasta y otra
nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de
Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una?

2) Ángel, Boris, César y Diego se sentaron a beber. El que se sentó a la izquierda
de Boris, bebió agua. Ángel estaba frente al que bebía vino. Quien sesentaba a la
derecha de Diego bebía anís. El del café y el del anís estaban frente a frente.
¿Cuál era la bebida de cada hombre?

En
el cálculo proposicional,
hacemos uso de PROPOSICIONES, cuya
característica fundamental es que son expresiones o enunciados con sentido y
que pueden ser catalogados como falsos o verdaderos. La verdad o falsedad de
un enunciado se llama su VALOR DE VERDAD.

Losprincipios fundamentales de la lógica son:
1) Principio de no contradicción Un enunciado no puede ser verdadero y falso al
mismo tiempo
2) Principio del tercer excluido Un enunciado sólo puede ser verdadero o falso.

Ejemplos de proposiciones:
1.
2.
3.
4.
5.

9 es un número impar
4 es múltiplo de 3
Un cuadrado tiene 3 lados iguales
La tierra es redonda
Centroamérica está en Europa

Ejemplos de enunciadosque no son proposiciones:
1.
2.
3.
4.

¿Cómo te llamas?
Hasta pronto.
¡corran!
Ella vive en Suiza

Si una proposición contiene uno o varios sujetos y un predicado que afirma algo
sobre dichos sujetos, entonces decimos que es una proposición simple.
Toda proposición simple está dada en forma afirmativa, pero esto no significa que
siempre deberá ser verdadera. Las proposiciones 2 y 3 están dadas enforma
afirmativa, pero sus valores de verdad son falsos.


4 es múltiplo de 3



Un cuadrado tiene 3 lados iguales

En general, las proposiciones de la 1 a la 5 son llamadas PROPOSICIONES
SIMPLES, (sólo constan de un enunciado).


9 es un número impar



4 es múltiplo de 3



Un cuadrado tiene 3 lados iguales



La tierra es redonda

Cuando las proposiciones constan de dos o másproposiciones simples, unidas
mediante uno o más de los conectivos u operadores lógicos “y”, “o”,
“si….entonces”, “si y solo si” entonces reciben el nombre de
PROPOSICIONES COMPUESTAS.

EJEMPLO:
1. Antigua está en Guatemala y Guatemala está en Centroamérica
2. 7 + 5 = 12 si y solo si 12 – 5 = 7
3. Si un
triángulo es rectángulo, entonces uno de sus ángulos mide
90grados.

Los enunciados se denotarán por lasletras p, q, r, s....etc, las cuales se conocen
como letras proposicionales.

CONJUNCIÓN: p  q (se lee “ p y q “ o “si p y q “ )

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra “Y”.
Para formar un enunciado compuesto. La conjunción se denota simbólicamente
por .

El valor de verdad del enunciado compuesto p  q será verdadero solamente si p
y q son verdaderas, en otrocaso el valor de verdad de p  q será falso.
Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:

Ejemplo:
Sean los enunciados:
p: 5 es un número natural impar
q: 3 + 2 = 6
p  q : 5 es un número natural impar y 3 + 2 = 6.

DISYUNCIÓN: p  q (se lee “si p o q “ )
Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra “o”
para formar un enunciado compuesto....