Matematica 1

Magister Lord Barrera:

Coordinador del área
de Matemática

El Concepto de Función
y sus Operaciones

Escuelas Profesionales
de
Ingeniería Industrial
Ingeniería de Sistemas
Ingeniería Empresarial

II

Lord Barrera

1. Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones

1.1. El Concepto de Función y sus Operaciones

Definición 1.1. Una función es una correspondencia f que asigna a cadaentrada
una única salida.
Cuando una función f tiene entrada x, la salida se escribe como f ( x ), que se lee
“ f de x”.

La entrada se llama variable independiente y la salida variable dependiente.
En lo que sigue, nuestras funciones serán reales, esto quiere decir que las entradas
y salidas son números reales.
Ejemplo 1.1. (Costo de llamada). Si
usted habla por celular y cada minuto lecuesta S/0.5, entonces
en un minuto gasta

1 × 0.5 = 0.5 soles

en dos minutos gasta 2 × 0.5 = 1 sol

en tres minutos gasta 3 × 0.5 = 1.5 soles
.
.
.
.
=
.
.

en x minutos gasta

x × 0.5 = 0.5x soles

O sea, por hablar x minutos le costará 0.5x. Para este modelo tenemos así una
función que escribimos
f ( x ) = 0.5x
Aquí nuestra función es la regla que asigna a la entrada x(cantidad de minutos
hablados por celular) la salida 0.5x (que consiste del costo que resulta de hablar
x minutos).

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Definición 1.2. El dominio de una función f es el conjunto de todas sus entradas,
denotado por dom( f ). El rango de f es costituido por todas sus salidas; más
precisamente, el rango de f es el conjunto
ran( f ) = { f ( x ) : x ∈ dom( f )}

Si damos lafunción y = f ( x ) y no especificamos el dominio, podemos pedir
el dominio natural de f , que consiste de todos los posibles valores de x para los
cuales existe f ( x ).
Ejemplo 1.2. Consideremos la función f ( x ) = x2 . Esta hace corresponder a
cada número su cuadrado, por ejemplo
√
√
f (1) = (1)2 = 1,
f (2) = (2)2 = 4,
f ( 5) = ( 5)2 = 5

√
√
Si indicamos que x toma sólo valores1, 2 o 5, entonces dom( f ) = {1, 2, 5} y
ran( f ) = {1, 4, 5}. Sin embargo, si no damos restricción a las entradas x, entonces
su dominio natural es el conjunto R de todos los números reales y su rango el
conjunto R ≥0 de reales positivos incluído el cero.
Ejemplo 1.3. El siguiente esquema de función representa los 10 terremotos
más grandes del mundo entre los años 1900 y 2010.

MAGNITUDLOCALIZACION Y FECHA
Chile (mayo 22 de 1960)
9.5
Alaska (marzo 28 de 1964)
9.2
Rusia (noviembre 4 de 1952)
9.0
Indonesia (diciembre 28 de 2004)
Chile (febrero 27 de 2010)
Ecuador (enero 31 de 1906)
8.8
Alaska (marzo 9 de 1957)
Islas Kuriles (noviembre 6 de 1958)
8.7
Alaska (febrero 4 de 1965)
8.5
Chile (noviembre 11 de 1922)

2

Lord Barrera
Ejemplo 1.4.

Considere lafunción f ( x ) =

1
.
x−1

(i) Calcular f (0), f (2) y f (5).
(ii) Halle el dominio natural de f .
Solución. (i) Evaluando tenemos
f (0) =

1
= −1,
0−1

f (2) =

1
=1
2−1

f (3) =

y

(ii) Para hallar el dominio natural, notemos que
mero x que satisface x = 1, o sea, dom( f ) = R \ {1}.

1
1
= .
3−1
2

1
existe para todo núx−1

Ejemplo 1.5. (Costo por consumo deagua). Con el fin de incentivar el ahorro
en el consumo de agua, de las familias
de la ciudad de Lima, SEDAPAL señala
la siguiente medida de cobro: a cada familia se le cobrará 0.008 soles por galón
si usa menos de 4000 galones al mes, y
que cobrará 0.012 por galón si cada familia usa 4000 galones o más al mes.
(i) Hallar una función C que determina el costo mensual que cada familia asume porconsumir x galones de agua al mes.
(ii) Hallar C (3900) y C (4200). ¿Qué representan sus respuestas?
Solución. (i) Desde que el costo de x galones de agua depende de su uso,
necesitamos definir la función C en dos partes: para x < 4000 y para x ≥ 4000.
Para x galones el costo es 0.008x si x < 4000 y 0.012x si x ≥ 4000. De esta
manera podemos expresar a la función C como
C(x) =

0.008x si x...