Matematica 1

SEMANA I UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para la : Práctica correspondiente a las clases del 01 y 03 de abril Temas :

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MA1111. Abril-Junio 2003

Propiedades de los números reales; valor absoluto ; inecuaciones. 1.- Usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, demuestre que : (a+b) 2 = a2+2ab+b2.¿ cual otra propiedad es necesaria para la validez de esta fórmula? Respuesta : (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = (a+b)a+(a+b)b = (a2+ba)+(ab+b2) (1) =
(1)

= ((a2 +ba)+ab)+b2(1) (a2 +(ba+ab))+b2(2) (a2 +(ab+ab))+b2= a2+2ab+b2 . = =

En (1) se usa la propiedad asociativa de la suma ; = En (2) se usa la propiedad conmutativa de la multiplicación. = Observación 1. Escribir : a2+2ab+b2 sin usar paréntesisno produce ambigüedades , gracias a la propiedad asociativa de la suma, ya que las dos expresiones : (a2+2ab)+b2 , a2+(2ab+b2) representan el mismo número. Observación 2. Hay un convenio por el cual en una fórmula, en ausencia de paréntesis que indiquen el orden en el cual hay que efectuar las operaciones, primero se efectúan todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecenescritas y en segundo lugar se efectúan todas las sumas y restas. Por ejemplo : a2+2ab = (a.a)+(2ab) . 2.- Indique las propiedades de la multiplicación que se usan al efectuar el siguiente 4 despeje : 2x=4 ⇒ x = 2 = 2 . 1 1 1 1 Respuesta : 2x=4 ⇒ 2 (2x) = 2 .4 = 2 ⇒ x (1) 1.x (2) (2 2)x (3) 2 (2x) = 2 . = = = En (1) se usa la propiedad del neutro ; en (2) se usa la propiedad del simétrico (inverso) ;= = en (3) se usa la propiedad asociativa. =

SEMANA I UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. 3.− Resuelva las siguientes inecuaciones : a) 2x-7 < 0; b) x2-5x > 0 ; d) - x2+5x-20 > 0 e) - x2+5x-20 < 0

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MA1111. Abril-Junio 2003 c) x2-5x ≤ -6 ; f) 4x2+12x + 9 ≤ 0 .

7 7 Respuesta : 3a) {x∈R x < 2 } = (-∞, 2 ) ; 3b) {x∈R x < 0 o x > 5} =(-∞,0)∪(5,+∞) ; 3c) {x∈R 2 ≤ x ≤ 3}= [2,3] ; 3 3 3d) { } = ∅ ; 3e) R ; 3f) {x∈R x = - 2 } = { - 2 } .

4.− Resuelva las siguientes inecuaciones : x a) x+2 < 0 ; 2x+1 d) 1-x ≤ 0 ; x b) x+2 ≥ 0 ; 2x+1 x+2 e) 1-x ≤ 1-x ; x c) x+2 < 1 ; f) x3-6x2+11x-6 > 0 .

Respuesta : 4a) {x∈R-2< x < 0 } = (-2,0) ; 4b) {x∈R x< -2 o x ≥ 0 } = (-∞, -2)∪[0,+∞) ; 4c) {x∈R x > -2 } = (-2,+∞) ; 1 1 4d) {x∈Rx ≤ - 2 o x > 1 }=(-∞,- 2 ]∪(1,+∞) ; 4e) {x∈Rx ≠ 1 }= (-∞, 1)∪(1,+∞); 4f) {x∈R1 < x < 2 o x > 3 }= (1,2)∪(3,+∞). 5.- Diga, justificando, si es cierta o falsa la siguiente desigualdad : a-2b< a+b, siendo a, b números reales positivos cualesquiera. En el caso que la desigualdad no sea siempre cierta, proporcione un ejemplo de dos números, a, b para los cuales no es cierta. Respuesta. Por ejemplo, con a=1 , b= 4,tenemos : a-2b= 7 > 5 = a+b . Si se quiere obtener una respuesta sin estar tanteando, resolvamos la inecuación :

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MA1111. Abril-Junio 2003   x > b ⇔ 2 ;  b > 0 

x-2b< x+b, pensando, por ejemplo, haber fijado b . Tenemos : x-2b< x+b ⇔ -(x+b) < x-2b < x+b ⇔

{

-x-b < x-2b x-2b < x+b

bpor lo tanto (siendo b positivo), la desigualdad dada se cumple si y sólo si a es mayor que 2 . 6.- Resuelva las siguientes inecuaciones : a) 2x+3≤ 1 ; b) 2x+3≥ 1 ; c) 2x+1+x ≤ 2 ; d) 2x+4-x-1≤ 4 .

1 1 Respuesta. 6a) [-2,-1] ; 6b) (-∞, -2]∪[-1,+∞) ; 6c) [-3,3] ; 6d) [-9, 3] . 7.- Diga , justificando , cuales de las siguientes afirmaciones son correctas y cuales no : a) -a= a ; b) x2= x ; c) x2 = ± x
3

; d)

x3 = x ; e)

3

8=±2;

f) 2x+x+3< 8 ⇔ - 8 < 2x+x+3 < 8 . Respuesta. 7a) es falsa, ya que no se cumple si a es negativo ; 7b) es falsa, ya que no se cumple si x es negativo ; 7c) es falsa ya que por definición el símbolo representa la raíz cuadrada aritmética , a saber, aquella de las dos raíces cuadradas que no es negativa ; 7d) es cierta para todo...