matematica 2// vector gradiente, regla de la cadena, derivacion de funciones implicitas//

Propiedad del vector gradiente

Propiedades
Si f : D ⊆ R2 → R es una funci´ n diferenciable en D entonces
o
El m´ ximo valor de la derivada direccional es Du f (x, y) = || f (x, y)||, y
aocurre cuando u tiene la misma direcci´ n que el vector gradiente.
o
El vector gradiente es perpendicular a un vector tangente a la curva de
nivel que pasa por el punto.
(Probamos la primer propiedaden clase).
Ejemplo en clase: para f (x, y) = xey hallar la tasa de cambio de f en P(2, 0)
en la direcci´ n desde P hasta Q(1/2, 2). Adem´ s averiguamos cu´ l es la
o
a
a
m´ xima derivadadireccional y en qu´ direcci´ n ocurre.
a
e
o

Clase 07/06/2013

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Propiedad del vector gradiente

Clase 07/06/2013

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Regla de la cadena
Supongamos que z = f (x, y) es una funci´ ndiferenciable de x y de y, donde
o
x = g(t), y = h(t) son funciones diferenciables de t. Entonces z es una
funci´ n diferenciable de t y
o
∂f dx ∂f dy
dz
=
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
dz
Ejemplosen clase: z = x2 y + 3xy4 , donde x = sen2t, y = cost, hallar
dt
cuando t = 0.
Problema: La presi´ n P y la temperatura T (en grados Kelvin) de un mol de
o
un gas ideal est´ n relacionados por PV= 8,31T. Encontrar la tasa a la cual
a
est´ cambiando la presi´ n cuando la temperatura es 300 K y crece a una tasa
a
o
de 0,1K/s y el volumen es 100 litros y se incrementa a una tasa de 0,2l/s.Clase 07/06/2013

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Regla de la cadena (continuaci´ n)
o

Supongamos que z = f (x, y) es una funci´ n diferenciable de x y de y, donde
o
x = g(s, t), y = h(s, t) son funcionesdiferenciables de s y de t. Entonces
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
=
+
,
∂s
∂x ∂s ∂y ∂s
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
=
+
.
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
Ejemplo en clase: z = ex seny, donde x = st2 , y = s2 t, hallar

∂z ∂z
y .
∂s∂t

Clase 07/06/2013

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Derivaci´ n de funciones impl´citas
o
ı
Supongamos que una ecuaci´ n de la forma F(x, y) = 0 define a y
o
impl´citamente como funci´ n diferenciable de x. Esto...