Matematica 2


FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como

f(x, y, z, ...)

a partir de los valores (x, y, z, ...), llamados variables independientes.
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si haytres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, las funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables
Puntos en el espaciotridimensional tienen coordenadas como mostramos en la siguiente figura.
La coordenada x de un punto es su distancia al plano YZ.
(Si es negativa la coordenada x, el punto está detraz del plano YZ.)
La coordenada y de un punto es su distancia al plano XZ.
(Si es negativa la coordenada y, el punto está a la izquierda del plano XZ.)
La coordenada z de un punto es su distancia al plano XY.
(Si esnegativa la coordenada z, está debajo del plano XY.)







Gráfica de una función de dos variables
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos puntos (x, y, z) tal que
z = f(x,y).


1. EJEMPLO
Graficar el dominio de la función:


Solución
1. Como

2. Graficando



















3. Lo mismo con
2. EJEMPLO. Graficar la función:


Solución
1) Primero se grafica el paraboloide,
luego lo cortamos por el plano x=y
2) Luego graficamos
el plano z=3-x-y



Límites y continuidad

 El estudio de loslímites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variable, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto (a ,b) como lo muestra la figura .Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de n-variables es análogo.
Definición
(Disco de radio y centro P) Un disco D(P,) abierto, o simplemente un disco, de radio y centro en P=(a ,b) es el conjunto de todos los puntos (x ,y) tales que su distancia a (a , b) esmenor que , es decir

Observación:
si en la definición (1) se cambia < por un obtenemos un disco cerrado
Definición
Sea , una función de dos variables definida en el disco abierto , excepto posiblemente en (a,b).

Si y sólo si para cada existe un correspondiente /
Si entonces

Observación : Gráficamente, estadefinición significa que para un punto cualquiera , el valor de f(x,y) está entre y , como se ilustra
Cuando escribimos que entendemos que el punto se aproxima al punto en cualquier dirección.
Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897).Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno.
Importante. Si el valor de
no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias al acercarnos a , entonces el límite no existe.
El siguiente ejemplo muestra esta situación.
EJEMPLO. Compruebe...