matematica 3

GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS
EN EL PLANO.
J. Lafuente
Enero de 1998

Índice
1. Introducción a la teoría de curvas planas
1.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.Curvas cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Curvas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6. Reparametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7. Trayectorias y trayectorias orientadas. . . . . . . .
1.1.8. Sobre la geometría de las curvas . . . . . . . . . . .
1.1.9. Curvas regulares a pedazos. . . . . . . . . . . . . .
1.1.10. La Cicloide . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.11. Longitud de una Curva. . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.12. Parametrización por el arco . . . . . . . . . . . . .
1.1.13. Desigualdad isoperimétrica . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Curvas en implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Teorema (breve) de la función implícita . . . . . . .
1.2.2. Puntos singulares y regulares. . . . . .. . . . . . .
1.2.3. Dirección normal y la tangente en un punto regular
1.3. Curvas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Coordenadas polares del plano . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Ecuaciones polares de una curva . . . . . . . . . . .
1.4. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Definición focal de las Cónicas . . . . . . . . . . . .1.4.2. Ecuaciones implícitas reducidas . . . . . . . . . . .
1.4.3. Ecuacion polar reducida de las cónicas . . . . . . .
1.5. Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Óvalos y Lemniscatas . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE

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1.5.2.
1.5.3.
1.5.4.
1.5.5.
1.5.6.
1.5.7.
1.5.8.
1.5.9.

Cisoide . . . . . . . . . . . . . .
Cicloides alargadas y acortadas
Epicicloides e hipocicloides . . .
Tractiz . . . . . . . . . . . . . .
Caracoles (o limaçon) de Pascal
Rosaceas . . . .. . . . . . . . .
Espirales . . . . . . . . . . . . .
Curvas podarias . . . . . . . . .

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2. Envolventes
2.1. Parábola de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Haces de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Ecuaciones de un haz de curvas . . . . . . . . . .
2.3. Envolvente de un haz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Las cónicas como envolventes de haces derectas. .
2.4. Determinación de la envolvente . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Intersección entre lineas próximas . . . . . . . . .
2.4.2. Linea discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Determinación analítica local de la envolvente . .
2.5. Haces y envolventes notables . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Zona de audibilidad de un avión supersónico . . .
2.5.2. La podariacomo envolvente de circunferencias . .
2.5.3. El haz tangente de la Astroide . . . . . . . . . . .

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3. Evolutas y evolventes
3.1. Evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. La evoluta...