matematica 4

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS






Clase 4




ECUACIONES DIFERENCIALES TRAYECTORIAS ORTOGONALES


AUTOR:
Lic. Armando Velásquez Romero









TRAYECTORIAS ORTOGONALES

Dada una familia de curvas planas:
… (1)
uniparamétrica, se define trayectorias ortogonales a las curvas que en cada uno de sus puntos forman un ángulo constante 90º concada una de las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto.
Para encontrar las trayectorias ortogonales .
Se hace lo siguiente:
a. Dado
b. Formamos la ecuación diferencial de (1)

c. Luego, la familia de trayectorias ortogonales tendrán la forma
d. La integral general de esta última ecuación diferencial nos proporciona las trayectorias ortogonalesProblema 11:
Encuentre la familia de trayectorias ortogonales a todas las rectas que pasan por el origen.



Solución:



i) … (2)
ii) Derivando (1)

Luego en (2)
iii) para las trayectorias ortogonales
… (3)
iv) Resolviendo (3)


Integrando
Donde constante.
(Familia de circunferencias)

Problema 12:
Encuentre las trayectorias ortogonalespara la familia de curvas

donde es un parámetro
Solución
... (1)
Derivando

Reemplazo en (1)


(Ésta es la ecuación diferencial si resuelvo (1))
Para las trayectorias ortogonales

Luego será . La integral general de esta última ecuación diferencial nos proporciona la familia de trayectorias ortogonales

Integrando







COORDENADASPOLARES



FIGURA 1

(1) Angulo entre el radio vector y la tangente:

(2) Longitud de la subtangente
(3) Longitud de la subnormal
(4) Longitud de la perpendicular del polo a la tangente:
(5) Elemento de longitud de arco Elemento de área:
NOTA: Cuando aumenta con , es positiva como la figura y es agudo, entonces la subtangente OT es positiva y se mide hacia la derechade un observador que desde O mire en la dirección OP.

Algunas demostraciones
(1) Sea , las coordenadas polares de un punto .
Sea el ángulo formado por la tangente y el radio vector del punto entonces según el grafico:








Entonces


(2) En el triángulo de la figura 1:


Problema 13:
Encontrar la ecuación de una curva, para el cual elsegmento de la tangente comprendida entre el punto de contacto y el pie de la perpendicular trazado por el polo a la tangente es del radio vector del punto de contacto.



En la figura

Pero (ecuación diferencial)
Resolviendo por separación de variables:




Problema 14:
Hallar la curva para el cual “la subnormal” polar es el doble del seno delángulo vectorial (Segunda Práctica Calificada UNI FIC 96-3)

Según el gráfico (figura 1) se tiene:
Subnormal
(Ecuación diferencial). Al resolver por separación de variables:


Problema 15:
Demostrar que la subtangente polar es
Según el grafico (figura 1) subtangente polar





Problema 16:
Una bala se introduceen una tabla de de espesor con una velocidad de pasando con una velocidad . Suponiendo que la resistencia de la tabla es proporcional al cuadrado de su velocidad encuentre el tiempo del movimiento de la bala en la tabla.
Solución:



… (1)


…
En (1) tenemos:

Que se escribe como . Integrando y evaluando:
,

…
De




Problema 17:Se sabe que la población de un estado crece a una velocidad proporcional al número de habitantes que viven actualmente en el estado, si después de 10 años la población se ha triplicado y después de 20 años la población es de 150000 habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en el estado.
Solución:
Sea el número de habitantes que vive en el estado en el tiempo...