Matematica Analitica

http://www.dynamics.unam.edu/NotasVarias/Actuarial.pdf

EJEMPLOS
1.- Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción
se describe por medio de la función
Q(x) = 100;000 + 1; 500x +0:2x
2
El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando
se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo.
Solución:Utilizando la de…nición de costo marginal, se tiene que es
Q
0
(x) = 1; 500 +0:4x;
y el costo por producir 1 auto más es,
Q
0
(100) = 1; 540 pesos;
esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540.
La función costo promedio es,
q(x) =
100;000
x
+1;500 + 0:2x;
el costo promedio al producir 100 autos es,
29q(100) = 2;520 pesos;
como el costo promedio dela producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir
un auto más, conviene producir la siguiente unidad.
2.- Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo
con la función, Q(x) = x
2
+2x +2: Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602.
Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es convenienteproducirla.
Solución:
La función costo marginal es, en este caso,
Q
0
(x) = 2x +2;
el costo marginal por producir 1 artículo más es de
Q
0
(300) = 602 pesos;
la función costo promedio es, en este caso,
q(x) = x + 2 +
2
x
;
y el costo promedio al producir 300 artículos es
q(300) = 302:01 pesos;
es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, noconviene
producir la siguiente unidad.
303.- Utilizando el análisis marginal resolver el ejemplo anterior y comparar los resultados.
Solución:
La función costo total es Q(x) = x
2 +2x + 2;
el costo por producir 300 artículos es Q(300) = 90;602 pesos;
el costo por producir 301 artículos es Q(301) = 91;205 pesos;
y el costo marginal por producir 1 unidad más, después de las 300 unidadesiniciales es
Q(301)¡ Q(300) = 603 pesos;
esto quiere decir que el costo adicional al producir una unidad más es de $603 y como es mayor
que el costo promedio por producir 300 unidades, no conviene producir la siguiente unidad.
Comparando con el resultado anterior, Q(301) ¡ Q(300) = 603 ¼ 602 = Q0
(300), se tiene
que la aproximación es buena ya que, la curva de la función costo es una curva suave.4.- La función costo total por producir un artículo es Q(x) = 5e
0:2x
: El costo por producir
50 artículos es Q(50) = 110; 132:33 pesos:
Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad, mediante el uso de la de…nición y mediante el análisis marginal.
Solución:
Por de…nición de la función costo marginal Q0
(x) = e
0:2x
El costo adicional por producir 1 unidad más es Q0
(50)= 22;026:5 pesos:
Utilizando el análisis marginal el costo por producir una unidad adicional es Q(51)¡Q(50) =
24;383:6 pesos.
Al comparar resultados, se tiene que Q0
(50) =6 Q(51) ¡ Q(50), así, se tiene que en contraposición a lo obtenido en el ejemplo 3 esta aproximación no es buena, es de esperarse este
resultado pues la curva de la función no es una curva suave.
312.1.2 Ingreso Marginal.De manera análoga a la de…nición de costo marginal se puede de…nir el ingreso marginal,
que es el ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad más de un producto o servicio.
Observemos que si cada una de las unidades de un producto se vende al mismo precio, entonces,
el ingreso marginal siempre es igual al precio.
Ahora, supongamos que tenemos una función ingreso R(x) que representael ingreso por
la venta de x unidades y x es la cantidad vendida, de tal manera que el ingreso por vender h
unidades adicionales es,
R(x +h)¡ R(x):
Al cociente
R(x +h)¡ R(x)
h
;
se le conoce como el ingreso promedio por vender h unidades adicionales y, si existe el límite
del cociente anterior cuando h tiende a cero,
lím
x ! 0
R(x + h) ¡R(x)
h
;
entonces, a este límitese le llama...